---

Step * 2 of Lemma Legendre-rpolynomial


1. n : ℕ
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
3. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
4. a : ℕ(n - 2) + 1 ⟶ ℝ
5. ∀x:ℝ. (Legendre(n - 2;x) = (Σi≤n - 2. a_i * x^i))
6. (a (n - 2)) = (r(doublefact((2 * (n - 2)) - 1))/r((n - 2)!))
7. b : ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ
8. ∀x:ℝ. (Legendre(n - 1;x) = (Σi≤n - 1. b_i * x^i))
9. (b (n - 1)) = (r(doublefact((2 * (n - 1)) - 1))/r((n - 1)!))
10. ∀x:ℝ
      (((2 * n) - 1 * x * Legendre(n - 1;x) - n - 1 * Legendre(n - 2;x))/n
      = (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
                  if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
                  else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
                  fi _i * x^i))
⊢ if (n =z 0) then (1 - n * a n)/n
if n <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (n - 1))/n - (n - 1 * a n)/n
else ((2 * n) - 1 * b (n - 1))/n
fi 
= (r(doublefact((2 * n) - 1))/r((n)!))
BY
{ ((Assert r((n)!) ≠ r0 BY
          (OrRight THEN Auto))
   THEN AutoSplit
   THEN (nRMul ⌜r((n)!)⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "int-rdiv-req" 0 THENA Auto)
   THEN (nRMul ⌜r(n)⌝ 0⋅ THENA Auto)) }

1
1. n : {1...}
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
3. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
4. a : ℕ(n - 2) + 1 ⟶ ℝ
5. ∀x:ℝ. (Legendre(n - 2;x) = (Σi≤n - 2. a_i * x^i))
6. (a (n - 2)) = (r(doublefact((2 * (n - 2)) - 1))/r((n - 2)!))
7. b : ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ
8. ∀x:ℝ. (Legendre(n - 1;x) = (Σi≤n - 1. b_i * x^i))
9. (b (n - 1)) = (r(doublefact((2 * (n - 1)) - 1))/r((n - 1)!))
10. ∀x:ℝ
      (((2 * n) - 1 * x * Legendre(n - 1;x) - n - 1 * Legendre(n - 2;x))/n
      = (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
                  if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
                  else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
                  fi _i * x^i))
11. r((n)!) ≠ r0
⊢ ((2 * n) - 1 * b (n - 1) * r((n)!)) = r(doublefact((2 * n) - 1) * n)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mneg{}(n  =  0)
3.  \mneg{}(n  =  1)
4.  a  :  \mBbbN{}(n  -  2)  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (Legendre(n  -  2;x)  =  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  2.  a\_i  *  x\^{}i))
6.  (a  (n  -  2))  =  (r(doublefact((2  *  (n  -  2))  -  1))/r((n  -  2)!))
7.  b  :  \mBbbN{}(n  -  1)  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
8.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (Legendre(n  -  1;x)  =  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  1.  b\_i  *  x\^{}i))
9.  (b  (n  -  1))  =  (r(doublefact((2  *  (n  -  1))  -  1))/r((n  -  1)!))
10.  \mforall{}x:\mBbbR{}
            (((2  *  n)  -  1  *  x  *  Legendre(n  -  1;x)  -  n  -  1  *  Legendre(n  -  2;x))/n
            =  (\mSigma{}i\mleq{}n.  \mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  0)  then  (1  -  n  *  a  i)/n
                                    if  i  <z  n  -  1  then  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n  -  (n  -  1  *  a  i)/n
                                    else  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n
                                    fi  \_i  *  x\^{}i))
\mvdash{}  if  (n  =\msubz{}  0)  then  (1  -  n  *  a  n)/n
if  n  <z  n  -  1  then  ((2  *  n)  -  1  *  b  (n  -  1))/n  -  (n  -  1  *  a  n)/n
else  ((2  *  n)  -  1  *  b  (n  -  1))/n
fi 
=  (r(doublefact((2  *  n)  -  1))/r((n)!))


By

---

Latex:
((Assert  r((n)!)  \mneq{}  r0  BY
                (OrRight  THEN  Auto))
  THEN  AutoSplit
  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}r((n)!)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "int-rdiv-req"  0  THENA  Auto)
  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}r(n)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index