---

Step * of Lemma Taylor-remainder-as-integral

∀I:Interval
  (iproper(I)
  ⇒ (∀a,b:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀n:ℕ. ∀F:ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ.
        ((∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
        ⇒ finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
        ⇒ (Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) = a_∫-b (F[n + 1;t]/r((n)!)) * b - t^n dt))))
BY
{ (RepeatFor 4 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (InstLemma  `rmin-rmax-subinterval` [⌜I⌝;⌜a⌝;⌜b⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN InductionOnNat
   THEN Reduce 0
   THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
4. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
6. F : ℕ2 ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀k:ℕ2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;1;i,x.F[i;x])
⊢ Taylor-remainder(I;0;b;a;k,x.F[k;x]) = a_∫-b (F[1;t]/r1) * r1 dt

2
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
4. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
6. n : ℤ
7. 0 < n
8. ∀F:ℕ(n - 1) + 2 ⟶ I ⟶ℝ
     ((∀k:ℕ(n - 1) + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
     ⇒ finite-deriv-seq(I;(n - 1) + 1;i,x.F[i;x])
     ⇒ (Taylor-remainder(I;n - 1;b;a;k,x.F[k;x]) = a_∫-b (F[(n - 1) + 1;t]/r((n - 1)!)) * b - t^n - 1 dt))
9. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
10. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
11. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
⊢ Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) = a_∫-b (F[n + 1;t]/r((n)!)) * b - t^n dt

3
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : ℝ
4. a ∈ I
5. b : ℝ
6. b ∈ I
7. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
8. n : ℤ
9. 0 < n
10. ∀F:ℕ(n - 1) + 2 ⟶ I ⟶ℝ
      ((∀k:ℕ(n - 1) + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((F k x) = (F k y))))
      ⇒ finite-deriv-seq(I;(n - 1) + 1;i,x.F i x)
      ⇒ (Taylor-remainder(I;n - 1;b;a;k,x.F k x) = a_∫-b (F ((n - 1) + 1) t/r((n - 1)!)) * b - t^n - 1 dt))
11. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
12. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((F k x) = (F k y)))
13. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F i x)
14. Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F k x) = a_∫-b (F (n + 1) t/r((n)!)) * b - t^n dt
15. x : {x:ℝ| x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} 
16. y : {x:ℝ| x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} 
17. x = y
⊢ ((F (n + 1) x/r((n)!)) * b - y^n) = ((F (n + 1) y/r((n)!)) * b - y^n)

4
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : ℝ
4. a ∈ I
5. b : ℝ
6. b ∈ I
7. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
8. n : ℤ
9. 0 < n
10. F : ℕ(n - 1) + 2 ⟶ I ⟶ℝ
11. x : ∀k:ℕ(n - 1) + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((F k x) = (F k y)))
12. x1 : finite-deriv-seq(I;(n - 1) + 1;i,x.F i x)
13. x2 : {x:ℝ| x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} 
14. y : {x:ℝ| x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} 
15. x2 = y
⊢ ((F ((n - 1) + 1) x2/r((n - 1)!)) * b - y^n - 1) = ((F ((n - 1) + 1) y/r((n - 1)!)) * b - y^n - 1)

5
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : ℝ
4. a ∈ I
5. b : ℝ
6. b ∈ I
7. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
8. n : ℕ
9. ∀F:ℕ2 ⟶ I ⟶ℝ
     ((∀k:ℕ2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((F k x) = (F k y))))
     ⇒ finite-deriv-seq(I;1;i,x.F i x)
     ⇒ (Taylor-remainder(I;0;b;a;k,x.F k x) = a_∫-b (F 1 t/r1) * r1 dt))
10. ∀n:{n:ℤ| 0 < n} 
      ((∀F:ℕ(n - 1) + 2 ⟶ I ⟶ℝ
          ((∀k:ℕ(n - 1) + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((F k x) = (F k y))))
          ⇒ finite-deriv-seq(I;(n - 1) + 1;i,x.F i x)
          ⇒ (Taylor-remainder(I;n - 1;b;a;k,x.F k x) = a_∫-b (F ((n - 1) + 1) t/r((n - 1)!)) * b - t^n - 1 dt)))
      ⇒ (∀F:ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
            ((∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((F k x) = (F k y))))
            ⇒ finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F i x)
            ⇒ (Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F k x) = a_∫-b (F (n + 1) t/r((n)!)) * b - t^n dt))))
11. n1 : ℕ
12. F : ℕn1 + 2 ⟶ I ⟶ℝ
13. ∀k:ℕn1 + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((F k x) = (F k y)))
14. finite-deriv-seq(I;n1 + 1;i,x.F i x)
15. x : {x:ℝ| x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} 
16. y : {x:ℝ| x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} 
17. x = y
⊢ ((F (n1 + 1) x/r((n1)!)) * b - y^n1) = ((F (n1 + 1) y/r((n1)!)) * b - y^n1)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval
    (iproper(I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a,b:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}F:\mBbbN{}n  +  2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
                ((\mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y])))
                {}\mRightarrow{}  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
                {}\mRightarrow{}  (Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])  =  a\_\mint{}\msupminus{}b  (F[n  +  1;t]/r((n)!))  *  b  -  t\^{}n  dt))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  4  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (InstLemma    `rmin-rmax-subinterval`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  InductionOnNat
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto)

---

Home Index