---

Step * 1 3 of Lemma arcsine-contraction-Taylor


1. a : ℝ
2. r(-1) < a
3. a < r1
4. x : ℝ
5. c : ℝ
6. r0 ≤ a
7. a ≤ c
8. rsqrt(r1 - a * a) ≤ c
9. r0 ≤ (r1 - a * a)
10. e : {e:ℝ| r0 < e} 
11. (-(π/2), π/2) ⊆ (-∞, ∞) 
12. d(rcos(x))/dx = λx.-(rsin(x)) on (-∞, ∞)
13. d(rsin(x))/dx = λx.rcos(x) on (-∞, ∞)
14. d(-(rsin(x)))/dx = λx.-(rcos(x)) on (-∞, ∞)
15. d(-(rcos(x)))/dx = λx.rsin(x) on (-∞, ∞)
16. ∃c:ℝ
     ((rmin(arcsine(a);x) ≤ c)
     ∧ (c ≤ rmax(arcsine(a);x))
     ∧ (|Taylor-remainder((-∞, ∞);2;x;arcsine(a);k,x.if (k =z 0) then arcsine-contraction(a;x)
       if (k =z 1) then r1 + ((a * -(rsin(x))) - rsqrt(r1 - a * a) * rcos(x))
       if (k =z 2) then r0 + ((a * -(rcos(x))) - rsqrt(r1 - a * a) * -(rsin(x)))
       else r0 + ((a * -(-(rsin(x)))) - rsqrt(r1 - a * a) * -(rcos(x)))
       fi ) - (x - c^2
       * (if (2 + 1 =z 0) then arcsine-contraction(a;c)
         if (2 + 1 =z 1) then r1 + ((a * -(rsin(c))) - rsqrt(r1 - a * a) * rcos(c))
         if (2 + 1 =z 2) then r0 + ((a * -(rcos(c))) - rsqrt(r1 - a * a) * -(rsin(c)))
         else r0 + ((a * -(-(rsin(c)))) - rsqrt(r1 - a * a) * -(rcos(c)))
         fi /r((2)!)))
       * (x - arcsine(a))| ≤ e))
⊢ |arcsine-contraction(a;x) - arcsine(a)| ≤ ((c * |x - arcsine(a)|^3) + e)
BY
{ (RepUR ``Taylor-remainder Taylor-approx`` -1 THEN ExRepD) }

1
1. a : ℝ
2. r(-1) < a
3. a < r1
4. x : ℝ
5. c : ℝ
6. r0 ≤ a
7. a ≤ c
8. rsqrt(r1 - a * a) ≤ c
9. r0 ≤ (r1 - a * a)
10. e : {e:ℝ| r0 < e} 
11. (-(π/2), π/2) ⊆ (-∞, ∞) 
12. d(rcos(x))/dx = λx.-(rsin(x)) on (-∞, ∞)
13. d(rsin(x))/dx = λx.rcos(x) on (-∞, ∞)
14. d(-(rsin(x)))/dx = λx.-(rcos(x)) on (-∞, ∞)
15. d(-(rcos(x)))/dx = λx.rsin(x) on (-∞, ∞)
16. c1 : ℝ
17. rmin(arcsine(a);x) ≤ c1
18. c1 ≤ rmax(arcsine(a);x)
19. |arcsine-contraction(a;x) - Σ{(if (k =z 0) then arcsine-contraction(a;arcsine(a))
if (k =z 1) then r1 + ((a * -(rsin(arcsine(a)))) - rsqrt(r1 - a * a) * rcos(arcsine(a)))
if (k =z 2) then r0 + ((a * -(rcos(arcsine(a)))) - rsqrt(r1 - a * a) * -(rsin(arcsine(a))))
else r0 + ((a * -(-(rsin(arcsine(a))))) - rsqrt(r1 - a * a) * -(rcos(arcsine(a))))
fi /r((k)!))
* x - arcsine(a)^k | 0≤k≤2} - (x - c1^2 * (r0 + ((a * -(-(rsin(c1)))) - rsqrt(r1 - a * a) * -(rcos(c1)))/r((2)!)))
* (x - arcsine(a))| ≤ e
⊢ |arcsine-contraction(a;x) - arcsine(a)| ≤ ((c * |x - arcsine(a)|^3) + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  r(-1)  <  a
3.  a  <  r1
4.  x  :  \mBbbR{}
5.  c  :  \mBbbR{}
6.  r0  \mleq{}  a
7.  a  \mleq{}  c
8.  rsqrt(r1  -  a  *  a)  \mleq{}  c
9.  r0  \mleq{}  (r1  -  a  *  a)
10.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
11.  (-(\mpi{}/2),  \mpi{}/2)  \msubseteq{}  (-\minfty{},  \minfty{}) 
12.  d(rcos(x))/dx  =  \mlambda{}x.-(rsin(x))  on  (-\minfty{},  \minfty{})
13.  d(rsin(x))/dx  =  \mlambda{}x.rcos(x)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
14.  d(-(rsin(x)))/dx  =  \mlambda{}x.-(rcos(x))  on  (-\minfty{},  \minfty{})
15.  d(-(rcos(x)))/dx  =  \mlambda{}x.rsin(x)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
16.  \mexists{}c:\mBbbR{}
          ((rmin(arcsine(a);x)  \mleq{}  c)
          \mwedge{}  (c  \mleq{}  rmax(arcsine(a);x))
          \mwedge{}  (|Taylor-remainder((-\minfty{},  \minfty{});2;x;arcsine(a);k,x.if  (k  =\msubz{}  0)  then  arcsine-contraction(a;x)
              if  (k  =\msubz{}  1)  then  r1  +  ((a  *  -(rsin(x)))  -  rsqrt(r1  -  a  *  a)  *  rcos(x))
              if  (k  =\msubz{}  2)  then  r0  +  ((a  *  -(rcos(x)))  -  rsqrt(r1  -  a  *  a)  *  -(rsin(x)))
              else  r0  +  ((a  *  -(-(rsin(x))))  -  rsqrt(r1  -  a  *  a)  *  -(rcos(x)))
              fi  )  -  (x  -  c\^{}2
              *  (if  (2  +  1  =\msubz{}  0)  then  arcsine-contraction(a;c)
                  if  (2  +  1  =\msubz{}  1)  then  r1  +  ((a  *  -(rsin(c)))  -  rsqrt(r1  -  a  *  a)  *  rcos(c))
                  if  (2  +  1  =\msubz{}  2)  then  r0  +  ((a  *  -(rcos(c)))  -  rsqrt(r1  -  a  *  a)  *  -(rsin(c)))
                  else  r0  +  ((a  *  -(-(rsin(c))))  -  rsqrt(r1  -  a  *  a)  *  -(rcos(c)))
                  fi  /r((2)!)))
              *  (x  -  arcsine(a))|  \mleq{}  e))
\mvdash{}  |arcsine-contraction(a;x)  -  arcsine(a)|  \mleq{}  ((c  *  |x  -  arcsine(a)|\^{}3)  +  e)


By

---

Latex:
(RepUR  ``Taylor-remainder  Taylor-approx``  -1  THEN  ExRepD)

---

Home Index