---

Step * of Lemma arctan-poly-approx-1

∀[x:{x:ℝ| r0 ≤ x} ]. ∀[k:ℕ].  (|arctangent(x) - arctan-poly(x;k)| ≤ (x^(2 * k) + 3/r((2 * k) + 3)))
BY
{ ((Assert ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2)) BY
          (Auto THEN (Assert r0 ≤ x^2 BY EAuto 1) THEN RWO "-1<" 0 THEN Auto))
   THEN (Assert ∀x:ℝ. -(x^2) ≠ r1 BY
               (Auto
                THEN OrLeft
                THEN Auto
                THEN (Assert r0 ≤ x^2 BY
                            Auto)
                THEN (RWO "-1<" 0 THEN Auto)
                THEN RWO "rminus-int" 0
                THEN Auto))
   THEN Auto
   THEN (InstLemma `integral-rsub` [⌜r0⌝;⌜x⌝;⌜λ2x.(r1/r1 + x^2)⌝;⌜λ2x.Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k}⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN Fold `arctangent` (-1)
   THEN Assert ⌜(arctangent(x) - arctan-poly(x;k)) = (arctangent(x) - r0_∫-x Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx)⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
2. ∀x:ℝ. -(x^2) ≠ r1
3. x : {x:ℝ| r0 ≤ x} 
4. k : ℕ
5. r0_∫-x (r1/r1 + x^2) - Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx = (arctangent(x) - r0_∫-x Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx)
⊢ (arctangent(x) - arctan-poly(x;k)) = (arctangent(x) - r0_∫-x Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx)

2
1. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
2. ∀x:ℝ. -(x^2) ≠ r1
3. x : {x:ℝ| r0 ≤ x} 
4. k : ℕ
5. r0_∫-x (r1/r1 + x^2) - Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx = (arctangent(x) - r0_∫-x Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx)
6. (arctangent(x) - arctan-poly(x;k)) = (arctangent(x) - r0_∫-x Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx)
⊢ |arctangent(x) - arctan-poly(x;k)| ≤ (x^(2 * k) + 3/r((2 * k) + 3))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[x:\{x:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  x\}  ].  \mforall{}[k:\mBbbN{}].    (|arctangent(x)  -  arctan-poly(x;k)|  \mleq{}  (x\^{}(2  *  k)  +  3/r((2  *  k)  +  3)))


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (r1  +  x\^{}2))  BY
                (Auto  THEN  (Assert  r0  \mleq{}  x\^{}2  BY  EAuto  1)  THEN  RWO  "-1<"  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}x:\mBbbR{}.  -(x\^{}2)  \mneq{}  r1  BY
                          (Auto
                            THEN  OrLeft
                            THEN  Auto
                            THEN  (Assert  r0  \mleq{}  x\^{}2  BY
                                                    Auto)
                            THEN  (RWO  "-1<"  0  THEN  Auto)
                            THEN  RWO  "rminus-int"  0
                            THEN  Auto))
  THEN  Auto
  THEN  (InstLemma  `integral-rsub`  [\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.(r1/r1  +  x\^{}2)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.\mSigma{}\{-(x\^{}2)\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  Fold  `arctangent`  (-1)
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}(arctangent(x)  -  arctan-poly(x;k))  =  (arctangent(x)  -  r0\_\mint{}\msupminus{}x  \mSigma{}\{-(x\^{}2)\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  dx)\mkleeneclose{}
  \mcdot{})

---

Home Index