---

Step * 10 of Lemma cos-sin-equation-nc


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. g : ℝ ⟶ ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. ∀x,y:ℝ.  (f(x - y) = ((f(x) * f(y)) + (g(x) * g(y))))
6. ∃a:ℝ. f(a) ≠ f(r0)
7. ∃b:ℝ. g(-(b)) ≠ g(b)
8. ∀x,y:ℝ.  (f(x - y) = f(y - x))
9. ∀y:ℝ. (f(-(y)) = f(y))
10. ∀y:ℝ. (g(-(y)) = -(g(y)))
11. g(r0) = r0
12. ∃d:ℝ. f(d) ≠ r0
13. f(r0) = r1
14. ∀x:ℝ. ((f(x)^2 + g(x)^2) = r1)
15. ∀x:ℝ. (|f(x)| ≤ r1)
16. ∀x,y:ℝ.  ((f(x - -(y)) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y)))
17. x : ℝ
18. y : ℝ
⊢ (f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y))
BY
{ ((InstHyp [⌜x⌝;⌜y⌝] (-3)⋅ THENA Auto) THEN (RWO "-1<" 0 THENA Auto) THEN BLemma `radd_functionality` THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  g  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y)))
4.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g(x)  =  g(y)))
5.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (f(x  -  y)  =  ((f(x)  *  f(y))  +  (g(x)  *  g(y))))
6.  \mexists{}a:\mBbbR{}.  f(a)  \mneq{}  f(r0)
7.  \mexists{}b:\mBbbR{}.  g(-(b))  \mneq{}  g(b)
8.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (f(x  -  y)  =  f(y  -  x))
9.  \mforall{}y:\mBbbR{}.  (f(-(y))  =  f(y))
10.  \mforall{}y:\mBbbR{}.  (g(-(y))  =  -(g(y)))
11.  g(r0)  =  r0
12.  \mexists{}d:\mBbbR{}.  f(d)  \mneq{}  r0
13.  f(r0)  =  r1
14.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f(x)\^{}2  +  g(x)\^{}2)  =  r1)
15.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (|f(x)|  \mleq{}  r1)
16.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((f(x  -  -(y))  +  f(x  -  y))  =  (r(2)  *  f(x)  *  f(y)))
17.  x  :  \mBbbR{}
18.  y  :  \mBbbR{}
\mvdash{}  (f(x  +  y)  +  f(x  -  y))  =  (r(2)  *  f(x)  *  f(y))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-1<"  0  THENA  Auto)
  THEN  BLemma  `radd\_functionality`
  THEN  Auto)

---

Home Index