---

Step * 1 1 1 of Lemma cos-sin-equation-non-constant3


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. g : ℝ ⟶ ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. ∀x,y:ℝ.  (f(x - y) = ((f(x) * f(y)) + (g(x) * g(y))))
6. ¬¬(∃a:ℝ. (a ≠ r0 ∧ (∀x:ℝ. (f(x) = rcos(a * x))) ∧ (∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x)))))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((g x) = (g y)))
8. b : ℝ
9. r0_∫-b -(g(x)) dx ≠ r0
10. f(b) ≠ r1
11. f(b) - r1 ≠ r0
12. a : ℝ
13. a ≠ r0
14. ∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x))
15. f(r0) = r1
16. a1 : ℝ
17. a1 ≠ r0
18. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(a1 * x))
19. ∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a1 * x))
⊢ a = (f(b) - f(r0)/r0_∫-b -(g(x)) dx)
BY
{ (InstLemma `ftc-total-integral` [⌜λ2x.-(g(x))⌝;⌜λ2x.(f(x)/a)⌝;⌜r0⌝;⌜b⌝]⋅ THENA Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. g : ℝ ⟶ ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. ∀x,y:ℝ.  (f(x - y) = ((f(x) * f(y)) + (g(x) * g(y))))
6. ¬¬(∃a:ℝ. (a ≠ r0 ∧ (∀x:ℝ. (f(x) = rcos(a * x))) ∧ (∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x)))))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((g x) = (g y)))
8. b : ℝ
9. r0_∫-b -(g(x)) dx ≠ r0
10. f(b) ≠ r1
11. f(b) - r1 ≠ r0
12. a : ℝ
13. a ≠ r0
14. ∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x))
15. f(r0) = r1
16. a1 : ℝ
17. a1 ≠ r0
18. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(a1 * x))
19. ∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a1 * x))
⊢ d((f(x)/a))/dx = λx.-(g(x)) on (-∞, ∞)

2
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. g : ℝ ⟶ ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. ∀x,y:ℝ.  (f(x - y) = ((f(x) * f(y)) + (g(x) * g(y))))
6. ¬¬(∃a:ℝ. (a ≠ r0 ∧ (∀x:ℝ. (f(x) = rcos(a * x))) ∧ (∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x)))))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((g x) = (g y)))
8. b : ℝ
9. r0_∫-b -(g(x)) dx ≠ r0
10. f(b) ≠ r1
11. f(b) - r1 ≠ r0
12. a : ℝ
13. a ≠ r0
14. ∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x))
15. f(r0) = r1
16. a1 : ℝ
17. a1 ≠ r0
18. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(a1 * x))
19. ∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a1 * x))
20. r0_∫-b -(g(t)) dt = ((f(b)/a) - (f(r0)/a))
⊢ a = (f(b) - f(r0)/r0_∫-b -(g(x)) dx)

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  g  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y)))
4.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g(x)  =  g(y)))
5.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (f(x  -  y)  =  ((f(x)  *  f(y))  +  (g(x)  *  g(y))))
6.  \mneg{}\mneg{}(\mexists{}a:\mBbbR{}.  (a  \mneq{}  r0  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(a  *  x)))  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  rsin(a  *  x)))))
7.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((g  x)  =  (g  y)))
8.  b  :  \mBbbR{}
9.  r0\_\mint{}\msupminus{}b  -(g(x))  dx  \mneq{}  r0
10.  f(b)  \mneq{}  r1
11.  f(b)  -  r1  \mneq{}  r0
12.  a  :  \mBbbR{}
13.  a  \mneq{}  r0
14.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  rsin(a  *  x))
15.  f(r0)  =  r1
16.  a1  :  \mBbbR{}
17.  a1  \mneq{}  r0
18.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(a1  *  x))
19.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  rsin(a1  *  x))
\mvdash{}  a  =  (f(b)  -  f(r0)/r0\_\mint{}\msupminus{}b  -(g(x))  dx)


By

---

Latex:
(InstLemma  `ftc-total-integral`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.-(g(x))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.(f(x)/a)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index