---

Step * 1 2 1 of Lemma cos-sin-equation


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. g : ℝ ⟶ ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. ∀x,y:ℝ.  (f(x - y) = ((f(x) * f(y)) + (g(x) * g(y))))
6. ¬(∃a:ℝ. f(a) ≠ f(r0))
7. ∀x:ℝ. (f(x) = f(r0))
8. ∀x:ℝ. ((g(x) * g(r0)) = (f(r0) - f(r0)^2))
9. (g(r0) * g(r0)) = (f(r0) - f(r0)^2)
10. f(r0) = ((f(r0) * f(r0)) + (g(r0) * g(r0)))
⊢ ¬¬((∃c:ℝ
       ((r0 ≤ (c - c^2)) ∧ (∀x:ℝ. (f(x) = c)) ∧ ((∀x:ℝ. (g(x) = rsqrt(c - c^2))) ∨ (∀x:ℝ. (g(x) = -(rsqrt(c - c^2)))))))
∨ (∃a:ℝ. (a ≠ r0 ∧ (∀x:ℝ. (f(x) = rcos(a * x))) ∧ (∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x))))))
BY
{ (Assert r0 ≤ (f(r0) - f(r0)^2) BY
         ((RWO "rnexp2" 0 THENA Auto)
          THEN (Assert (f(r0) - f(r0) * f(r0)) = (g(r0) * g(r0)) BY
                      Auto)
          THEN RWO "-1" 0
          THEN Auto)) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. g : ℝ ⟶ ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. ∀x,y:ℝ.  (f(x - y) = ((f(x) * f(y)) + (g(x) * g(y))))
6. ¬(∃a:ℝ. f(a) ≠ f(r0))
7. ∀x:ℝ. (f(x) = f(r0))
8. ∀x:ℝ. ((g(x) * g(r0)) = (f(r0) - f(r0)^2))
9. (g(r0) * g(r0)) = (f(r0) - f(r0)^2)
10. f(r0) = ((f(r0) * f(r0)) + (g(r0) * g(r0)))
11. r0 ≤ (f(r0) - f(r0)^2)
⊢ ¬¬((∃c:ℝ
       ((r0 ≤ (c - c^2)) ∧ (∀x:ℝ. (f(x) = c)) ∧ ((∀x:ℝ. (g(x) = rsqrt(c - c^2))) ∨ (∀x:ℝ. (g(x) = -(rsqrt(c - c^2)))))))
∨ (∃a:ℝ. (a ≠ r0 ∧ (∀x:ℝ. (f(x) = rcos(a * x))) ∧ (∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x))))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  g  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y)))
4.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g(x)  =  g(y)))
5.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (f(x  -  y)  =  ((f(x)  *  f(y))  +  (g(x)  *  g(y))))
6.  \mneg{}(\mexists{}a:\mBbbR{}.  f(a)  \mneq{}  f(r0))
7.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  f(r0))
8.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((g(x)  *  g(r0))  =  (f(r0)  -  f(r0)\^{}2))
9.  (g(r0)  *  g(r0))  =  (f(r0)  -  f(r0)\^{}2)
10.  f(r0)  =  ((f(r0)  *  f(r0))  +  (g(r0)  *  g(r0)))
\mvdash{}  \mneg{}\mneg{}((\mexists{}c:\mBbbR{}
              ((r0  \mleq{}  (c  -  c\^{}2))
              \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  c))
              \mwedge{}  ((\mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  rsqrt(c  -  c\^{}2)))  \mvee{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  -(rsqrt(c  -  c\^{}2)))))))
\mvee{}  (\mexists{}a:\mBbbR{}.  (a  \mneq{}  r0  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(a  *  x)))  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  rsin(a  *  x))))))


By

---

Latex:
(Assert  r0  \mleq{}  (f(r0)  -  f(r0)\^{}2)  BY
              ((RWO  "rnexp2"  0  THENA  Auto)
                THEN  (Assert  (f(r0)  -  f(r0)  *  f(r0))  =  (g(r0)  *  g(r0))  BY
                                        Auto)
                THEN  RWO  "-1"  0
                THEN  Auto))

---

Home Index