---

Step * 2 of Lemma derivative-cosine


1. lim n→∞.Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤n} = λx.cosine(x) for x ∈ (-∞, ∞)
2. n : ℕ
⊢ d(Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤n})/dx = λx.-(Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤n - 1}) on (-∞, ∞)
BY
{ Assert ⌜d(Σ{r(-1^i) * (x^2 * i/r((2 * i)!)) | 0≤i≤n})/dx = λx.Σ{r(-1^i)
          * (if (i =z 0) then r0 else r(2 * i) * x^(2 * i) - 1 fi /r((2 * i)!)) | 0≤i≤n} on (-∞, ∞)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. lim n→∞.Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤n} = λx.cosine(x) for x ∈ (-∞, ∞)
2. n : ℕ
⊢ d(Σ{r(-1^i) * (x^2 * i/r((2 * i)!)) | 0≤i≤n})/dx = λx.Σ{r(-1^i)
* (if (i =z 0) then r0 else r(2 * i) * x^(2 * i) - 1 fi /r((2 * i)!)) | 0≤i≤n} on (-∞, ∞)

2
1. lim n→∞.Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤n} = λx.cosine(x) for x ∈ (-∞, ∞)
2. n : ℕ
3. d(Σ{r(-1^i) * (x^2 * i/r((2 * i)!)) | 0≤i≤n})/dx = λx.Σ{r(-1^i)
* (if (i =z 0) then r0 else r(2 * i) * x^(2 * i) - 1 fi /r((2 * i)!)) | 0≤i≤n} on (-∞, ∞)
⊢ d(Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤n})/dx = λx.-(Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤n - 1}) on (-∞, ∞)

---

Latex:

---

Latex:

1.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}2  *  i)/(2  *  i)!  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  =  \mlambda{}x.cosine(x)  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
2.  n  :  \mBbbN{}
\mvdash{}  d(\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}2  *  i)/(2  *  i)!  |  0\mleq{}i\mleq{}n\})/dx  =  \mlambda{}x.-(\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}n 
-  1\})  on  (-\minfty{},  \minfty{})


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}d(\mSigma{}\{r(-1\^{}i)  *  (x\^{}2  *  i/r((2  *  i)!))  |  0\mleq{}i\mleq{}n\})/dx  =  \mlambda{}x.\mSigma{}\{r(-1\^{}i)
                *  (if  (i  =\msubz{}  0)  then  r0  else  r(2  *  i)  *  x\^{}(2  *  i)  -  1  fi  /r((2  *  i)!))  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  on  (-\minfty{},  \minfty{})\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index