---

Step * 1 2 1 2 1 1 of Lemma derivative-of-integral


1. I : Interval
2. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
3. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
4. k : ℕ+
5. n : ℕ+
6. icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| = |x_∫-y f[t] - f[x] dt|))
8. mc : ∀m:{m:ℕ+| icompact(i-approx(I;n))} . ∀n@0:ℕ+.
          (∃d:ℝ [((r0 < d)
                ∧ (∀x,y:ℝ.
                     ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n@0))))))])
⊢ ∃del:ℝ [((r0 < del)
         ∧ (∀x,y:ℝ.
              ((x ∈ i-approx(I;n))
              ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
              ⇒ (|y - x| ≤ del)
              ⇒ (|x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)))))]
BY
{ ((Assert i-approx(I;n) ⊆ I  BY
          Auto)
   THEN (Assert mc 1 k ∈ ∃d:ℝ [((r0 < d)
                              ∧ (∀x,y:ℝ.
                                   ((x ∈ i-approx(I;n))
                                   ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
                                   ⇒ (|x - y| ≤ d)
                                   ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))))] BY
               (Unfold `all` -2 THEN Unfold `all` 0 THEN Auto))
   ) }

1
1. I : Interval
2. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
3. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
4. k : ℕ+
5. n : ℕ+
6. icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| = |x_∫-y f[t] - f[x] dt|))
8. mc : ∀m:{m:ℕ+| icompact(i-approx(I;n))} . ∀n@0:ℕ+.
          (∃d:ℝ [((r0 < d)
                ∧ (∀x,y:ℝ.
                     ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n@0))))))])
9. i-approx(I;n) ⊆ I 
10. mc 1 k ∈ ∃d:ℝ [((r0 < d)
                  ∧ (∀x,y:ℝ.
                       ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))))]
⊢ ∃del:ℝ [((r0 < del)
         ∧ (∀x,y:ℝ.
              ((x ∈ i-approx(I;n))
              ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
              ⇒ (|y - x| ≤ del)
              ⇒ (|x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
3.  f  :  \{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))\} 
4.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  icompact(i-approx(I;n))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;n))
7.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  I)
          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)
          {}\mRightarrow{}  (|a\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  dt  -  a\_\mint{}\msupminus{}x  f[t]  dt  -  f[x]  *  (y  -  x)|  =  |x\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  -  f[x]  dt|))
8.  mc  :  \mforall{}m:\{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;n))\}  .  \mforall{}n@0:\mBbbN{}\msupplus{}.
                    (\mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
                                \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                          ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
                                          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
                                          {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                          {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n@0))))))])
\mvdash{}  \mexists{}del:\mBbbR{}  [((r0  <  del)
                  \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                            ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
                            {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
                            {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  del)
                            {}\mRightarrow{}  (|x\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  -  f[x]  dt|  \mleq{}  ((r1/r(k))  *  |y  -  x|)))))]


By

---

Latex:
((Assert  i-approx(I;n)  \msubseteq{}  I    BY
                Auto)
  THEN  (Assert  mc  1  k  \mmember{}  \mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
                                                        \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                                                  ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
                                                                  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
                                                                  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                                                  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(k))))))]  BY
                          (Unfold  `all`  -2  THEN  Unfold  `all`  0  THEN  Auto))
  )

---

Home Index