---

Step * 1 2 2 1 2 1 of Lemma derivative-of-integral


1. I : Interval
2. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
3. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
4. k : ℕ+
5. n : ℕ+
6. icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| = |x_∫-y f[t] - f[x] dt|))
8. del : ℝ
9. r0 < del
10. ∀x,y:ℝ.
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ del)
      ⇒ (|x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)))
11. x : ℝ
12. ∀y:ℝ
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ del)
      ⇒ (|x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)))
13. y : ℝ
14. x ∈ i-approx(I;n)
15. y ∈ i-approx(I;n)
16. |y - x| ≤ del
17. |x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)
⊢ |a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)
BY
{ Assert ⌜a_∫-y f[t] dt ∈ ℝ⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. I : Interval
2. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
3. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
4. k : ℕ+
5. n : ℕ+
6. icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| = |x_∫-y f[t] - f[x] dt|))
8. del : ℝ
9. r0 < del
10. ∀x,y:ℝ.
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ del)
      ⇒ (|x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)))
11. x : ℝ
12. ∀y:ℝ
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ del)
      ⇒ (|x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)))
13. y : ℝ
14. x ∈ i-approx(I;n)
15. y ∈ i-approx(I;n)
16. |y - x| ≤ del
17. |x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)
⊢ a_∫-y f[t] dt ∈ ℝ

2
1. I : Interval
2. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
3. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
4. k : ℕ+
5. n : ℕ+
6. icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| = |x_∫-y f[t] - f[x] dt|))
8. del : ℝ
9. r0 < del
10. ∀x,y:ℝ.
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ del)
      ⇒ (|x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)))
11. x : ℝ
12. ∀y:ℝ
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ del)
      ⇒ (|x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)))
13. y : ℝ
14. x ∈ i-approx(I;n)
15. y ∈ i-approx(I;n)
16. |y - x| ≤ del
17. |x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)
18. a_∫-y f[t] dt ∈ ℝ
⊢ |a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
3.  f  :  \{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))\} 
4.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  icompact(i-approx(I;n))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;n))
7.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  I)
          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)
          {}\mRightarrow{}  (|a\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  dt  -  a\_\mint{}\msupminus{}x  f[t]  dt  -  f[x]  *  (y  -  x)|  =  |x\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  -  f[x]  dt|))
8.  del  :  \mBbbR{}
9.  r0  <  del
10.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
            ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
            {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
            {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  del)
            {}\mRightarrow{}  (|x\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  -  f[x]  dt|  \mleq{}  ((r1/r(k))  *  |y  -  x|)))
11.  x  :  \mBbbR{}
12.  \mforall{}y:\mBbbR{}
            ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
            {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
            {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  del)
            {}\mRightarrow{}  (|x\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  -  f[x]  dt|  \mleq{}  ((r1/r(k))  *  |y  -  x|)))
13.  y  :  \mBbbR{}
14.  x  \mmember{}  i-approx(I;n)
15.  y  \mmember{}  i-approx(I;n)
16.  |y  -  x|  \mleq{}  del
17.  |x\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  -  f[x]  dt|  \mleq{}  ((r1/r(k))  *  |y  -  x|)
\mvdash{}  |a\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  dt  -  a\_\mint{}\msupminus{}x  f[t]  dt  -  f[x]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  ((r1/r(k))  *  |y  -  x|)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}a\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  dt  \mmember{}  \mBbbR{}\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index