---

Step * of Lemma general-partition-sum

∀I:Interval
  (icompact(I)
  ⇒ (∀f:I ⟶ℝ. ∀mc:f[x] continuous for x ∈ I. ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
        ∃d:{d:ℝ| r0 < d} 
         ∀p,q:{p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
         ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
           (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ (e * |I|))))
BY
{ TACTIC:(Auto
          THEN (Assert ∀m,n:ℕ+.
                         (mc m n ∈ {d:ℝ| 
                                    (r0 < d)
                                    ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )\000C BY
                      ((UnivCD THENA Auto) THEN Unfold `continuous` 4 THEN DoSubsume THEN Auto))
          THEN (D -1 With ⌜1⌝  THENA Auto)) }

1
1. I : Interval@i
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
5. e : {e:ℝ| r0 < e} @i
6. ∀n:ℕ+. (mc 1 n ∈ {d:ℝ| (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} 
   ∀p,q:{p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
     (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ (e * |I|))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval
    (icompact(I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}mc:f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I.  \mforall{}e:\{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\}  .
                \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
                  \mforall{}p,q:\{p:partition(I)|  partition-mesh(I;p)  \mleq{}  d\}  .  \mforall{}x:partition-choice(full-partition(I;p)).
                  \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;q)).
                      (|S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  (e  *  |I|))))


By

---

Latex:
TACTIC:(Auto
                THEN  (Assert  \mforall{}m,n:\mBbbN{}\msupplus{}.
                                              (mc  m  n  \mmember{}  \{d:\mBbbR{}| 
                                                                    (r0  <  d)
                                                                    \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                                                              ((x  \mmember{}  I)
                                                                              {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)
                                                                              {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                                                              {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n)))))\}  )  BY
                                        ((UnivCD  THENA  Auto)  THEN  Unfold  `continuous`  4  THEN  DoSubsume  THEN  Auto))
                THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}1\mkleeneclose{}    THENA  Auto))

---

Home Index