---

Step * of Lemma nearby-partition-sum

∀I:Interval
  (icompact(I)
  ⇒ iproper(I)
  ⇒ (∀f:I ⟶ℝ. ∀mc:f[x] continuous for x ∈ I. ∀p:partition(I). ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
      ∀alpha:{a:ℝ| r0 < a} .
        ∃e:{e:ℝ| r0 < e} 
         ∀q:partition(I). ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
           (nearby-partitions(e;p;q)
           ⇒ (∀i:ℕ||p|| + 1. (|x[i] - y[i]| ≤ e))
           ⇒ (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ alpha))))
BY
{ TACTIC:(RepeatFor 5 ((D 0 THENA Auto))
          THEN (Assert ∀m,n:ℕ+.
                         (mc m n ∈ {d:ℝ| 
                                    (r0 < d)
                                    ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )\000C BY
                      ((UnivCD THENA Auto) THEN Unfold `continuous` 5 THEN DoSubsume THEN Auto))
          THEN Auto
          THEN (Assert ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ BY
                      (Unfold `full-partition` 0 THEN Auto'))) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. iproper(I)
4. f : I ⟶ℝ
5. mc : f[x] continuous for x ∈ I
6. ∀m,n:ℕ+.
     (mc m n ∈ {d:ℝ| (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )
7. p : partition(I)
8. x : partition-choice(full-partition(I;p))
9. alpha : {a:ℝ| r0 < a} 
10. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
⊢ ∃e:{e:ℝ| r0 < e} 
   ∀q:partition(I). ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
     (nearby-partitions(e;p;q)
     ⇒ (∀i:ℕ||p|| + 1. (|x[i] - y[i]| ≤ e))
     ⇒ (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ alpha))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval
    (icompact(I)
    {}\mRightarrow{}  iproper(I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}mc:f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I.  \mforall{}p:partition(I).
            \mforall{}x:partition-choice(full-partition(I;p)).  \mforall{}alpha:\{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\}  .
                \mexists{}e:\{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
                  \mforall{}q:partition(I).  \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;q)).
                      (nearby-partitions(e;p;q)
                      {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||p||  +  1.  (|x[i]  -  y[i]|  \mleq{}  e))
                      {}\mRightarrow{}  (|S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  alpha))))


By

---

Latex:
TACTIC:(RepeatFor  5  ((D  0  THENA  Auto))
                THEN  (Assert  \mforall{}m,n:\mBbbN{}\msupplus{}.
                                              (mc  m  n  \mmember{}  \{d:\mBbbR{}| 
                                                                    (r0  <  d)
                                                                    \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                                                              ((x  \mmember{}  I)
                                                                              {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)
                                                                              {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                                                              {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n)))))\}  )  BY
                                        ((UnivCD  THENA  Auto)  THEN  Unfold  `continuous`  5  THEN  DoSubsume  THEN  Auto))
                THEN  Auto
                THEN  (Assert  ||full-partition(I;p)||  =  (||p||  +  2)  BY
                                        (Unfold  `full-partition`  0  THEN  Auto')))

---

Home Index