---

Step * 1 1 2 1 1 1 of Lemma nearby-separated-partition-sum-no-mc


1. I : Interval@i
2. icompact(I)
3. iproper(I)
4. f : {f:I ⟶ℝ| ifun(f;I)} @i
5. alpha : {alpha:ℝ| r0 < alpha} @i
6. e : {e:ℝ| r0 < e} @i
7. p : partition(I)@i
8. q : partition(I)@i
9. x : partition-choice(full-partition(I;p))@i
10. y : partition-choice(full-partition(I;q))@i
11. r0 < (alpha/r(2))
12. r0 < (e/r(2))
13. e1 : {e:ℝ| r0 < e} 
14. ∀q:partition(I). ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
      (nearby-partitions(e1;p;q)
      ⇒ (∀i:ℕ||p|| + 1. (|x[i] - y[i]| ≤ e1))
      ⇒ (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ (alpha/r(2))))
15. e2 : {e:ℝ| r0 < e} 
16. ∀q@0:partition(I). ∀y@0:partition-choice(full-partition(I;q@0)).
      (nearby-partitions(e2;q;q@0)
      ⇒ (∀i:ℕ||q|| + 1. (|y[i] - y@0[i]| ≤ e2))
      ⇒ (|S(f;full-partition(I;q@0)) - S(f;full-partition(I;q))| ≤ (alpha/r(2))))
17. r0 < rmin((e/r(2));rmin(e1;e2))
18. p' : partition(I)
19. q' : partition(I)
20. separated-partitions(p';q')
21. nearby-partitions(rmin((e/r(2));rmin(e1;e2));p;p')
22. nearby-partitions(rmin((e/r(2));rmin(e1;e2));q;q')
23. nearby-partitions(e1;p;p')
24. y1 : partition-choice(full-partition(I;p'))
25. ∀i:ℕ||p|| + 1. (|x[i] - y1[i]| ≤ e1)
26. nearby-partitions((e/r(2));p;p')
⊢ partition-mesh(I;p') ≤ (partition-mesh(I;p) + e)
BY
{ (BLemma `nearby-partition-mesh` THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval@i
2.  icompact(I)
3.  iproper(I)
4.  f  :  \{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;I)\}  @i
5.  alpha  :  \{alpha:\mBbbR{}|  r0  <  alpha\}  @i
6.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\}  @i
7.  p  :  partition(I)@i
8.  q  :  partition(I)@i
9.  x  :  partition-choice(full-partition(I;p))@i
10.  y  :  partition-choice(full-partition(I;q))@i
11.  r0  <  (alpha/r(2))
12.  r0  <  (e/r(2))
13.  e1  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
14.  \mforall{}q:partition(I).  \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;q)).
            (nearby-partitions(e1;p;q)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||p||  +  1.  (|x[i]  -  y[i]|  \mleq{}  e1))
            {}\mRightarrow{}  (|S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  (alpha/r(2))))
15.  e2  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
16.  \mforall{}q@0:partition(I).  \mforall{}y@0:partition-choice(full-partition(I;q@0)).
            (nearby-partitions(e2;q;q@0)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||q||  +  1.  (|y[i]  -  y@0[i]|  \mleq{}  e2))
            {}\mRightarrow{}  (|S(f;full-partition(I;q@0))  -  S(f;full-partition(I;q))|  \mleq{}  (alpha/r(2))))
17.  r0  <  rmin((e/r(2));rmin(e1;e2))
18.  p'  :  partition(I)
19.  q'  :  partition(I)
20.  separated-partitions(p';q')
21.  nearby-partitions(rmin((e/r(2));rmin(e1;e2));p;p')
22.  nearby-partitions(rmin((e/r(2));rmin(e1;e2));q;q')
23.  nearby-partitions(e1;p;p')
24.  y1  :  partition-choice(full-partition(I;p'))
25.  \mforall{}i:\mBbbN{}||p||  +  1.  (|x[i]  -  y1[i]|  \mleq{}  e1)
26.  nearby-partitions((e/r(2));p;p')
\mvdash{}  partition-mesh(I;p')  \mleq{}  (partition-mesh(I;p)  +  e)


By

---

Latex:
(BLemma  `nearby-partition-mesh`  THEN  Auto)

---

Home Index