---

Step * 1 of Lemma nearby-separated-partition-sum


1. I : Interval@i
2. icompact(I)
3. iproper(I)
4. f : I ⟶ℝ@i
5. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
6. alpha : {alpha:ℝ| r0 < alpha} @i
7. e : {e:ℝ| r0 < e} @i
8. p : partition(I)@i
9. q : partition(I)@i
10. x : partition-choice(full-partition(I;p))@i
11. y : partition-choice(full-partition(I;q))@i
12. r0 < (alpha/r(2))
13. r0 < (e/r(2))
14. e1 : {e:ℝ| r0 < e} 
15. ∀q:partition(I). ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
      (nearby-partitions(e1;p;q)
      ⇒ (∀i:ℕ||p|| + 1. (|x[i] - y[i]| ≤ e1))
      ⇒ (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ (alpha/r(2))))
16. e2 : {e:ℝ| r0 < e} 
17. ∀q@0:partition(I). ∀y@0:partition-choice(full-partition(I;q@0)).
      (nearby-partitions(e2;q;q@0)
      ⇒ (∀i:ℕ||q|| + 1. (|y[i] - y@0[i]| ≤ e2))
      ⇒ (|S(f;full-partition(I;q@0)) - S(f;full-partition(I;q))| ≤ (alpha/r(2))))
⊢ ∃p':partition(I)
   ∃x':partition-choice(full-partition(I;p'))
    ((partition-mesh(I;p') ≤ (partition-mesh(I;p) + e))
    ∧ (∃q':partition(I)
        ∃y':partition-choice(full-partition(I;q'))
         (separated-partitions(p';q')
         ∧ (partition-mesh(I;q') ≤ (partition-mesh(I;q) + e))
         ∧ (|S(f;full-partition(I;p)) - S(f;full-partition(I;q))| ≤ (|S(f;full-partition(I;p')) 
           - S(f;full-partition(I;q'))|
           + alpha)))))
BY
{ ((Assert r0 < rmin((e/r(2));rmin(e1;e2)) BY
          (RWW "rmin_strict_ub<" 0 THEN Auto))
   THEN (InstLemma `nearby-separated-partitions` [⌜I⌝;⌜p⌝;⌜q⌝;⌜rmin((e/r(2));rmin(e1;e2))⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN ParallelLast) }

1
1. I : Interval@i
2. icompact(I)
3. iproper(I)
4. f : I ⟶ℝ@i
5. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
6. alpha : {alpha:ℝ| r0 < alpha} @i
7. e : {e:ℝ| r0 < e} @i
8. p : partition(I)@i
9. q : partition(I)@i
10. x : partition-choice(full-partition(I;p))@i
11. y : partition-choice(full-partition(I;q))@i
12. r0 < (alpha/r(2))
13. r0 < (e/r(2))
14. e1 : {e:ℝ| r0 < e} 
15. ∀q:partition(I). ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
      (nearby-partitions(e1;p;q)
      ⇒ (∀i:ℕ||p|| + 1. (|x[i] - y[i]| ≤ e1))
      ⇒ (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ (alpha/r(2))))
16. e2 : {e:ℝ| r0 < e} 
17. ∀q@0:partition(I). ∀y@0:partition-choice(full-partition(I;q@0)).
      (nearby-partitions(e2;q;q@0)
      ⇒ (∀i:ℕ||q|| + 1. (|y[i] - y@0[i]| ≤ e2))
      ⇒ (|S(f;full-partition(I;q@0)) - S(f;full-partition(I;q))| ≤ (alpha/r(2))))
18. r0 < rmin((e/r(2));rmin(e1;e2))
19. p' : partition(I)
20. ∃q':partition(I)
     (separated-partitions(p';q')
     ∧ nearby-partitions(rmin((e/r(2));rmin(e1;e2));p;p')
     ∧ nearby-partitions(rmin((e/r(2));rmin(e1;e2));q;q'))
⊢ ∃x':partition-choice(full-partition(I;p'))
   ((partition-mesh(I;p') ≤ (partition-mesh(I;p) + e))
   ∧ (∃q':partition(I)
       ∃y':partition-choice(full-partition(I;q'))
        (separated-partitions(p';q')
        ∧ (partition-mesh(I;q') ≤ (partition-mesh(I;q) + e))
        ∧ (|S(f;full-partition(I;p)) - S(f;full-partition(I;q))| ≤ (|S(f;full-partition(I;p')) 
          - S(f;full-partition(I;q'))|
          + alpha)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval@i
2.  icompact(I)
3.  iproper(I)
4.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
5.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I@i
6.  alpha  :  \{alpha:\mBbbR{}|  r0  <  alpha\}  @i
7.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\}  @i
8.  p  :  partition(I)@i
9.  q  :  partition(I)@i
10.  x  :  partition-choice(full-partition(I;p))@i
11.  y  :  partition-choice(full-partition(I;q))@i
12.  r0  <  (alpha/r(2))
13.  r0  <  (e/r(2))
14.  e1  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
15.  \mforall{}q:partition(I).  \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;q)).
            (nearby-partitions(e1;p;q)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||p||  +  1.  (|x[i]  -  y[i]|  \mleq{}  e1))
            {}\mRightarrow{}  (|S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  (alpha/r(2))))
16.  e2  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
17.  \mforall{}q@0:partition(I).  \mforall{}y@0:partition-choice(full-partition(I;q@0)).
            (nearby-partitions(e2;q;q@0)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||q||  +  1.  (|y[i]  -  y@0[i]|  \mleq{}  e2))
            {}\mRightarrow{}  (|S(f;full-partition(I;q@0))  -  S(f;full-partition(I;q))|  \mleq{}  (alpha/r(2))))
\mvdash{}  \mexists{}p':partition(I)
      \mexists{}x':partition-choice(full-partition(I;p'))
        ((partition-mesh(I;p')  \mleq{}  (partition-mesh(I;p)  +  e))
        \mwedge{}  (\mexists{}q':partition(I)
                \mexists{}y':partition-choice(full-partition(I;q'))
                  (separated-partitions(p';q')
                  \mwedge{}  (partition-mesh(I;q')  \mleq{}  (partition-mesh(I;q)  +  e))
                  \mwedge{}  (|S(f;full-partition(I;p))  -  S(f;full-partition(I;q))|  \mleq{}  (|S(f;full-partition(I;p')) 
                      -  S(f;full-partition(I;q'))|
                      +  alpha)))))


By

---

Latex:
((Assert  r0  <  rmin((e/r(2));rmin(e1;e2))  BY
                (RWW  "rmin\_strict\_ub<"  0  THEN  Auto))
  THEN  (InstLemma  `nearby-separated-partitions`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}q\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}rmin((e/r(2));rmin(e1;e2))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  ParallelLast)

---

Home Index