---

Step * of Lemma partition-sum-bound-no-mc

∀I:Interval
  (icompact(I)
  ⇒ (∀f:I ⟶ℝ. ∀b:{b:ℝ| (r0 ≤ b) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (|f x| ≤ b)))} . ∀p:partition(I).
      ∀y:partition-choice(full-partition(I;p)).
        (|S(f;full-partition(I;p))| ≤ (b * |I|))))
BY
{ (SquashExtract
   THEN Auto
   THEN Unfold `partition-sum` 0
   THEN (GenConcl ⌜y = a ∈ (ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} )⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ BY
               (Unfold `full-partition` 0 THEN Auto'))
   THEN (RWO "rabs-rsum" 0⋅ THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. b : {b:ℝ| (r0 ≤ b) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (|f x| ≤ b)))} 
5. p : partition(I)
6. y : partition-choice(full-partition(I;p))
7. a : ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
8. y = a ∈ (ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} )
9. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
⊢ Σ{|(f (a i)) * (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i])| | 0≤i≤||full-partition(I;p)|| - 2} ≤ (b * |I|)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval
    (icompact(I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  b)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|f  x|  \mleq{}  b)))\}  .  \mforall{}p:partition(I).
            \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;p)).
                (|S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  (b  *  |I|))))


By

---

Latex:
(SquashExtract
  THEN  Auto
  THEN  Unfold  `partition-sum`  0
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}y  =  a\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  ||full-partition(I;p)||  =  (||p||  +  2)  BY
                          (Unfold  `full-partition`  0  THEN  Auto'))
  THEN  (RWO  "rabs-rsum"  0\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index