---

Step * 2 1 1 1 1 1 of Lemma partition-sum-bound


1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I
5. p : partition(I)
6. y : partition-choice(full-partition(I;p))
7. a : ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
8. y = a ∈ (ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} )
9. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
10. i : ℤ
11. 0 ≤ i
12. i ≤ (||full-partition(I;p)|| - 2)
⊢ (|f (a i)| * |full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]|) ≤ (||f[x]||_I
* (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]))
BY
{ Assert ⌜(full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]) = |full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]|⌝
⋅ }

1
.....assertion..... 
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I
5. p : partition(I)
6. y : partition-choice(full-partition(I;p))
7. a : ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
8. y = a ∈ (ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} )
9. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
10. i : ℤ
11. 0 ≤ i
12. i ≤ (||full-partition(I;p)|| - 2)
⊢ (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]) = |full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]|

2
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I
5. p : partition(I)
6. y : partition-choice(full-partition(I;p))
7. a : ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
8. y = a ∈ (ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} )
9. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
10. i : ℤ
11. 0 ≤ i
12. i ≤ (||full-partition(I;p)|| - 2)
13. (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]) = |full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]|
⊢ (|f (a i)| * |full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]|) ≤ (||f[x]||_I
* (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
5.  p  :  partition(I)
6.  y  :  partition-choice(full-partition(I;p))
7.  a  :  \mBbbN{}||p||  +  1  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
8.  y  =  a
9.  ||full-partition(I;p)||  =  (||p||  +  2)
10.  i  :  \mBbbZ{}
11.  0  \mleq{}  i
12.  i  \mleq{}  (||full-partition(I;p)||  -  2)
\mvdash{}  (|f  (a  i)|  *  |full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i]|)  \mleq{}  (||f[x]||\_I
*  (full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i]))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i])
                =  |full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i]|\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index