---

Step * of Lemma partition-sum-rleq

∀I:Interval
  (icompact(I)
  ⇒ (∀f,g:I ⟶ℝ.
        ∀p:partition(I). ∀y:partition-choice(full-partition(I;p)).
          (S(f;full-partition(I;p)) ≤ S(g;full-partition(I;p))) 
        supposing ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ ((f x) ≤ (g x)))))
BY
{ (Auto
   THEN Unfold `partition-sum` 0
   THEN Reduce 0
   THEN (GenConcl ⌜y = a ∈ (ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} )⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ BY
               (Unfold `full-partition` 0 THEN Auto'))
   THEN BLemma `rsum_functionality_wrt_rleq`
   THEN Auto
   THEN D 0
   THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g : I ⟶ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ ((f x) ≤ (g x)))
6. p : partition(I)
7. y : partition-choice(full-partition(I;p))
8. a : ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y = a ∈ (ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} )
10. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
11. i : ℤ
12. 0 ≤ i
13. i ≤ (||full-partition(I;p)|| - 2)
⊢ ((f (a i)) * (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i])) ≤ ((g (a i))
* (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval
    (icompact(I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f,g:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
                \mforall{}p:partition(I).  \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;p)).
                    (S(f;full-partition(I;p))  \mleq{}  S(g;full-partition(I;p))) 
                supposing  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  \mleq{}  (g  x)))))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  Unfold  `partition-sum`  0
  THEN  Reduce  0
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}y  =  a\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  ||full-partition(I;p)||  =  (||p||  +  2)  BY
                          (Unfold  `full-partition`  0  THEN  Auto'))
  THEN  BLemma  `rsum\_functionality\_wrt\_rleq`
  THEN  Auto
  THEN  D  0
  THEN  Auto)

---

Home Index