---

Step * 1 of Lemma quasilinear-weighted-mean-properties


1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : {x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
4. g : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ J} 
5. (∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x1) < (f x2)))) ∨ (∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x2) < (f x1))))
6. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 = x2) ⇒ ((f x1) = (f x2)))
7. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x1 = x2) ⇒ ((g x1) = (g x2)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((f (g x)) = x)
9. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
11. s : {s:ℝ| (r0 ≤ s) ∧ (r0 < (r + s))} 
⊢ (f convex-comb(g x;g x;r;s)) = x
BY
{ ((InstHyp [⌜convex-comb(g x;g x;r;s)⌝;⌜g x⌝] 6⋅ THENA Auto) THEN RWO "-1" 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  J  :  Interval
3.  f  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
4.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\} 
5.  (\mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  <  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x1)  <  (f  x2))))
\mvee{}  (\mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  <  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x2)  <  (f  x1))))
6.  \mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  =  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x1)  =  (f  x2)))
7.  \mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x1  =  x2)  {}\mRightarrow{}  ((g  x1)  =  (g  x2)))
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  ((f  (g  x))  =  x)
9.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
10.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
11.  s  :  \{s:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  s)  \mwedge{}  (r0  <  (r  +  s))\} 
\mvdash{}  (f  convex-comb(g  x;g  x;r;s))  =  x


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}convex-comb(g  x;g  x;r;s)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g  x\mkleeneclose{}]  6\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  RWO  "-1"  0  THEN  Auto)

---

Home Index