---

Step * 4 of Lemma quasilinear-weighted-mean-properties


1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : {x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
4. g : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ J} 
5. (∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x1) < (f x2)))) ∨ (∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x2) < (f x1))))
6. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 = x2) ⇒ ((f x1) = (f x2)))
7. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x1 = x2) ⇒ ((g x1) = (g x2)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((f (g x)) = x)
9. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
10. b : {b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a < b)} 
11. r : {r:ℝ| r0 < r} 
12. s : {s:ℝ| r0 < s} 
13. a = (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0)
14. (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s)
⊢ (f convex-comb(g a;g b;r;s)) < (f convex-comb(g a;g b;r0;r1))
BY
{ ((Assert (f convex-comb(g a;g b;r0;r1)) = b BY
          ((InstHyp [⌜convex-comb(g a;g b;r0;r1)⌝;⌜g b⌝] 6⋅ THENA Auto) THEN RWO "-1" 0 THEN Auto))
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
   THEN Try ((DSetVars THEN MemTypeCD THEN Auto THEN RWO "-1<" 0 THEN Auto))) }

1
1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : {x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
4. g : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ J} 
5. (∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x1) < (f x2)))) ∨ (∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x2) < (f x1))))
6. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 = x2) ⇒ ((f x1) = (f x2)))
7. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x1 = x2) ⇒ ((g x1) = (g x2)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((f (g x)) = x)
9. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
10. b : {b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a < b)} 
11. r : {r:ℝ| r0 < r} 
12. s : {s:ℝ| r0 < s} 
13. a = (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0)
14. (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s)
15. (f convex-comb(g a;g b;r0;r1)) = b
⊢ (f convex-comb(g a;g b;r;s)) < b

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  J  :  Interval
3.  f  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
4.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\} 
5.  (\mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  <  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x1)  <  (f  x2))))
\mvee{}  (\mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  <  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x2)  <  (f  x1))))
6.  \mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  =  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x1)  =  (f  x2)))
7.  \mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x1  =  x2)  {}\mRightarrow{}  ((g  x1)  =  (g  x2)))
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  ((f  (g  x))  =  x)
9.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
10.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  (a  <  b)\} 
11.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\} 
12.  s  :  \{s:\mBbbR{}|  r0  <  s\} 
13.  a  =  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r1  r0)
14.  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r1  r0)  <  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r  s)
\mvdash{}  (f  convex-comb(g  a;g  b;r;s))  <  (f  convex-comb(g  a;g  b;r0;r1))


By

---

Latex:
((Assert  (f  convex-comb(g  a;g  b;r0;r1))  =  b  BY
                ((InstHyp  [\mkleeneopen{}convex-comb(g  a;g  b;r0;r1)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g  b\mkleeneclose{}]  6\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  RWO  "-1"  0  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  Try  ((DSetVars  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto  THEN  RWO  "-1<"  0  THEN  Auto)))

---

Home Index