---

Step * 6 of Lemma quasilinear-weighted-mean-properties


1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : {x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
4. g : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ J} 
5. (∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x1) < (f x2)))) ∨ (∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x2) < (f x1))))
6. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 = x2) ⇒ ((f x1) = (f x2)))
7. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x1 = x2) ⇒ ((g x1) = (g x2)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((f (g x)) = x)
9. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a < b)} . ∀r,s:{s:ℝ| r0 < s} .
     ((a = (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r0 r1))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r0 r1) = b))
10. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
11. b : {b:ℝ| b ∈ I} 
12. r : {r:ℝ| r0 < r} 
13. s : {s:ℝ| (r0 < s) ∧ (r0 < (r + s))} 
14. t : {t:ℝ| r0 < t} 
⊢ (f convex-comb(g a;g b;r * t;s * t)) = (f convex-comb(g a;g b;r;s))
BY
{ (BHyp 6 THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : {x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
4. g : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ J} 
5. (∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x1) < (f x2)))) ∨ (∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x2) < (f x1))))
6. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 = x2) ⇒ ((f x1) = (f x2)))
7. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x1 = x2) ⇒ ((g x1) = (g x2)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((f (g x)) = x)
9. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a < b)} . ∀r,s:{s:ℝ| r0 < s} .
     ((a = (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r0 r1))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r0 r1) = b))
10. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
11. b : {b:ℝ| b ∈ I} 
12. r : {r:ℝ| r0 < r} 
13. s : {s:ℝ| (r0 < s) ∧ (r0 < (r + s))} 
14. t : {t:ℝ| r0 < t} 
⊢ s * t ∈ {s:ℝ| (r0 ≤ s) ∧ (r0 < ((r * t) + s))} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  J  :  Interval
3.  f  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
4.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\} 
5.  (\mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  <  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x1)  <  (f  x2))))
\mvee{}  (\mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  <  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x2)  <  (f  x1))))
6.  \mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  =  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x1)  =  (f  x2)))
7.  \mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x1  =  x2)  {}\mRightarrow{}  ((g  x1)  =  (g  x2)))
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  ((f  (g  x))  =  x)
9.  \mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  (a  <  b)\}  .  \mforall{}r,s:\{s:\mBbbR{}|  r0  <  s\}  .
          ((a  =  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r1  r0))
          \mwedge{}  ((quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r1  r0)  <  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r  s))
          \mwedge{}  ((quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r  s)  <  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r0  r1))
          \mwedge{}  ((quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r0  r1)  =  b))
10.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
11.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  b  \mmember{}  I\} 
12.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\} 
13.  s  :  \{s:\mBbbR{}|  (r0  <  s)  \mwedge{}  (r0  <  (r  +  s))\} 
14.  t  :  \{t:\mBbbR{}|  r0  <  t\} 
\mvdash{}  (f  convex-comb(g  a;g  b;r  *  t;s  *  t))  =  (f  convex-comb(g  a;g  b;r;s))


By

---

Latex:
(BHyp  6  THEN  Auto)

---

Home Index