---

Step * 7 1 1 2 of Lemma quasilinear-weighted-mean-properties


1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : {x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
4. g : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ J} 
5. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x2) < (f x1)))
6. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 = x2) ⇒ ((f x1) = (f x2)))
7. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x1 = x2) ⇒ ((g x1) = (g x2)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((f (g x)) = x)
9. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a < b)} . ∀r,s:{s:ℝ| r0 < s} .
     ((a = (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r0 r1))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r0 r1) = b))
10. ∀a,b:{b:ℝ| b ∈ I} . ∀r:{r:ℝ| r0 < r} . ∀s:{s:ℝ| (r0 < s) ∧ (r0 < (r + s))} . ∀t:{t:ℝ| r0 < t} .
      ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b (r * t) (s * t)) = (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s))
11. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
12. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
13. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
14. s : {s:ℝ| (r0 ≤ s) ∧ (r0 < (r + s))} 
15. X : {x:ℝ| x ∈ I} 
16. Y : {x:ℝ| x ∈ I} 
17. R : {R:ℝ| (r0 ≤ R) ∧ (r0 < (r + R))} 
18. S : {S:ℝ| ((r0 ≤ S) ∧ (r0 < (s + S))) ∧ (r0 < (R + S))} 
19. r0 ≤ r
20. r0 ≤ s
21. r0 < (r + s)
22. r0 ≤ R
23. r0 < (r + R)
24. r0 ≤ S
25. r0 < (s + S)
26. r0 < (R + S)
27. r0 < ((r + s) + R + S)
28. r0 < ((r + R) + s + S)
⊢ ∀x:{x:ℝ| x ∈ J} . ((g (f x)) = x)
BY
{ (InstLemma `inverse-of-strict-decreasing-function` [⌜J⌝;⌜f⌝;⌜I⌝;⌜g⌝]⋅ THEN Auto THEN GenConclTerm ⌜f t⌝⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  J  :  Interval
3.  f  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
4.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\} 
5.  \mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  <  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x2)  <  (f  x1)))
6.  \mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  =  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x1)  =  (f  x2)))
7.  \mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x1  =  x2)  {}\mRightarrow{}  ((g  x1)  =  (g  x2)))
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  ((f  (g  x))  =  x)
9.  \mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  (a  <  b)\}  .  \mforall{}r,s:\{s:\mBbbR{}|  r0  <  s\}  .
          ((a  =  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r1  r0))
          \mwedge{}  ((quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r1  r0)  <  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r  s))
          \mwedge{}  ((quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r  s)  <  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r0  r1))
          \mwedge{}  ((quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r0  r1)  =  b))
10.  \mforall{}a,b:\{b:\mBbbR{}|  b  \mmember{}  I\}  .  \mforall{}r:\{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\}  .  \mforall{}s:\{s:\mBbbR{}|  (r0  <  s)  \mwedge{}  (r0  <  (r  +  s))\}  .  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  r0  <  t\}  .
            ((quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  (r  *  t)  (s  *  t))
            =  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r  s))
11.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
12.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
13.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
14.  s  :  \{s:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  s)  \mwedge{}  (r0  <  (r  +  s))\} 
15.  X  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
16.  Y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
17.  R  :  \{R:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  R)  \mwedge{}  (r0  <  (r  +  R))\} 
18.  S  :  \{S:\mBbbR{}|  ((r0  \mleq{}  S)  \mwedge{}  (r0  <  (s  +  S)))  \mwedge{}  (r0  <  (R  +  S))\} 
19.  r0  \mleq{}  r
20.  r0  \mleq{}  s
21.  r0  <  (r  +  s)
22.  r0  \mleq{}  R
23.  r0  <  (r  +  R)
24.  r0  \mleq{}  S
25.  r0  <  (s  +  S)
26.  r0  <  (R  +  S)
27.  r0  <  ((r  +  s)  +  R  +  S)
28.  r0  <  ((r  +  R)  +  s  +  S)
\mvdash{}  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .  ((g  (f  x))  =  x)


By

---

Latex:
(InstLemma  `inverse-of-strict-decreasing-function`  [\mkleeneopen{}J\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  GenConclTerm  \mkleeneopen{}f  t\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index