---

Step * 9 1 of Lemma quasilinear-weighted-mean-properties


1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : {x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
4. g : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ J} 
5. (∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x1) < (f x2)))) ∨ (∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x2) < (f x1))))
6. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 = x2) ⇒ ((f x1) = (f x2)))
7. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x1 = x2) ⇒ ((g x1) = (g x2)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((f (g x)) = x)
9. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a < b)} . ∀r,s:{s:ℝ| r0 < s} .
     ((a = (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r0 r1))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r0 r1) = b))
10. ∀a,b:{b:ℝ| b ∈ I} . ∀r:{r:ℝ| r0 < r} . ∀s:{s:ℝ| (r0 < s) ∧ (r0 < (r + s))} . ∀t:{t:ℝ| r0 < t} .
      ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b (r * t) (s * t)) = (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s))
11. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} . ∀r:{r:ℝ| r0 ≤ r} . ∀s:{s:ℝ| (r0 ≤ s) ∧ (r0 < (r + s))} . ∀X,Y:{x:ℝ| x ∈ I} . ∀R:{R:ℝ| 
                                                                                                     (r0 ≤ R)
                                                                                                     ∧ (r0 < (r + R))} .
    ∀S:{S:ℝ| ((r0 ≤ S) ∧ (r0 < (s + S))) ∧ (r0 < (R + S))} .
      ((quasilinear-weighted-mean(f;g) (quasilinear-weighted-mean(f;g) x y r s) 
        (quasilinear-weighted-mean(f;g) X Y R S) 
        (r + s) 
        (R + S))
      = (quasilinear-weighted-mean(f;g) (quasilinear-weighted-mean(f;g) x X r R) 
         (quasilinear-weighted-mean(f;g) y Y s S) 
         (r + R) 
         (s + S)))
12. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a < b)} . ∀r:{r:ℝ| r0 < r} . ∀s:{s:ℝ| r0 ≤ s} . ∀t:{t:ℝ| s < t} .
      ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r t))
13. x : ℝ
14. x ∈ I
15. y : ℝ
16. y ∈ I
17. z : ℝ
18. z ∈ I
19. y < z
20. r : ℝ
21. r0 ≤ r
22. s : ℝ
23. r0 < s
24. s ∈ {s:ℝ| (r0 ≤ s) ∧ (r0 < (r + s))} 
⊢ (f convex-comb(g x;g y;r;s)) < (f convex-comb(g x;g z;r;s))
BY
{ ((Assert r0 < (r + s) BY
          (RWO "-4" 0 THEN Auto))
   THEN D 5
   THEN BHyp 5
   THEN Auto
   THEN BLemma `convex-comb-rless1`
   THEN Auto
   THEN MemTypeCD
   THEN Auto) }

1
.....set predicate..... 
1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : {x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
4. g : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ J} 
5. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x1) < (f x2)))
6. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 = x2) ⇒ ((f x1) = (f x2)))
7. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x1 = x2) ⇒ ((g x1) = (g x2)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((f (g x)) = x)
9. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a < b)} . ∀r,s:{s:ℝ| r0 < s} .
     ((a = (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r0 r1))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r0 r1) = b))
10. ∀a,b:{b:ℝ| b ∈ I} . ∀r:{r:ℝ| r0 < r} . ∀s:{s:ℝ| (r0 < s) ∧ (r0 < (r + s))} . ∀t:{t:ℝ| r0 < t} .
      ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b (r * t) (s * t)) = (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s))
11. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} . ∀r:{r:ℝ| r0 ≤ r} . ∀s:{s:ℝ| (r0 ≤ s) ∧ (r0 < (r + s))} . ∀X,Y:{x:ℝ| x ∈ I} . ∀R:{R:ℝ| 
                                                                                                     (r0 ≤ R)
                                                                                                     ∧ (r0 < (r + R))} .
    ∀S:{S:ℝ| ((r0 ≤ S) ∧ (r0 < (s + S))) ∧ (r0 < (R + S))} .
      ((quasilinear-weighted-mean(f;g) (quasilinear-weighted-mean(f;g) x y r s) 
        (quasilinear-weighted-mean(f;g) X Y R S) 
        (r + s) 
        (R + S))
      = (quasilinear-weighted-mean(f;g) (quasilinear-weighted-mean(f;g) x X r R) 
         (quasilinear-weighted-mean(f;g) y Y s S) 
         (r + R) 
         (s + S)))
12. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a < b)} . ∀r:{r:ℝ| r0 < r} . ∀s:{s:ℝ| r0 ≤ s} . ∀t:{t:ℝ| s < t} .
      ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r t))
13. x : ℝ
14. x ∈ I
15. y : ℝ
16. y ∈ I
17. z : ℝ
18. z ∈ I
19. y < z
20. r : ℝ
21. r0 ≤ r
22. s : ℝ
23. r0 < s
24. s ∈ {s:ℝ| (r0 ≤ s) ∧ (r0 < (r + s))} 
25. r0 < (r + s)
⊢ (g y) < (g z)

2
.....set predicate..... 
1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : {x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
4. g : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ J} 
5. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 < x2) ⇒ ((f x2) < (f x1)))
6. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x1 = x2) ⇒ ((f x1) = (f x2)))
7. ∀x1,x2:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x1 = x2) ⇒ ((g x1) = (g x2)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((f (g x)) = x)
9. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a < b)} . ∀r,s:{s:ℝ| r0 < s} .
     ((a = (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r1 r0) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r0 r1))
     ∧ ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r0 r1) = b))
10. ∀a,b:{b:ℝ| b ∈ I} . ∀r:{r:ℝ| r0 < r} . ∀s:{s:ℝ| (r0 < s) ∧ (r0 < (r + s))} . ∀t:{t:ℝ| r0 < t} .
      ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b (r * t) (s * t)) = (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s))
11. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} . ∀r:{r:ℝ| r0 ≤ r} . ∀s:{s:ℝ| (r0 ≤ s) ∧ (r0 < (r + s))} . ∀X,Y:{x:ℝ| x ∈ I} . ∀R:{R:ℝ| 
                                                                                                     (r0 ≤ R)
                                                                                                     ∧ (r0 < (r + R))} .
    ∀S:{S:ℝ| ((r0 ≤ S) ∧ (r0 < (s + S))) ∧ (r0 < (R + S))} .
      ((quasilinear-weighted-mean(f;g) (quasilinear-weighted-mean(f;g) x y r s) 
        (quasilinear-weighted-mean(f;g) X Y R S) 
        (r + s) 
        (R + S))
      = (quasilinear-weighted-mean(f;g) (quasilinear-weighted-mean(f;g) x X r R) 
         (quasilinear-weighted-mean(f;g) y Y s S) 
         (r + R) 
         (s + S)))
12. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a < b)} . ∀r:{r:ℝ| r0 < r} . ∀s:{s:ℝ| r0 ≤ s} . ∀t:{t:ℝ| s < t} .
      ((quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r s) < (quasilinear-weighted-mean(f;g) a b r t))
13. x : ℝ
14. x ∈ I
15. y : ℝ
16. y ∈ I
17. z : ℝ
18. z ∈ I
19. y < z
20. r : ℝ
21. r0 ≤ r
22. s : ℝ
23. r0 < s
24. s ∈ {s:ℝ| (r0 ≤ s) ∧ (r0 < (r + s))} 
25. r0 < (r + s)
⊢ (g z) < (g y)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  J  :  Interval
3.  f  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
4.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\} 
5.  (\mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  <  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x1)  <  (f  x2))))
\mvee{}  (\mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  <  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x2)  <  (f  x1))))
6.  \mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x1  =  x2)  {}\mRightarrow{}  ((f  x1)  =  (f  x2)))
7.  \mforall{}x1,x2:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x1  =  x2)  {}\mRightarrow{}  ((g  x1)  =  (g  x2)))
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  ((f  (g  x))  =  x)
9.  \mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  (a  <  b)\}  .  \mforall{}r,s:\{s:\mBbbR{}|  r0  <  s\}  .
          ((a  =  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r1  r0))
          \mwedge{}  ((quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r1  r0)  <  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r  s))
          \mwedge{}  ((quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r  s)  <  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r0  r1))
          \mwedge{}  ((quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r0  r1)  =  b))
10.  \mforall{}a,b:\{b:\mBbbR{}|  b  \mmember{}  I\}  .  \mforall{}r:\{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\}  .  \mforall{}s:\{s:\mBbbR{}|  (r0  <  s)  \mwedge{}  (r0  <  (r  +  s))\}  .  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  r0  <  t\}  .
            ((quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  (r  *  t)  (s  *  t))
            =  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r  s))
11.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  \mforall{}r:\{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\}  .  \mforall{}s:\{s:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  s)  \mwedge{}  (r0  <  (r  +  s))\}  .  \mforall{}X,Y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .
        \mforall{}R:\{R:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  R)  \mwedge{}  (r0  <  (r  +  R))\}  .  \mforall{}S:\{S:\mBbbR{}|  ((r0  \mleq{}  S)  \mwedge{}  (r0  <  (s  +  S)))  \mwedge{}  (r0  <  (R  +  S))\}  .
            ((quasilinear-weighted-mean(f;g)  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  x  y  r  s) 
                (quasilinear-weighted-mean(f;g)  X  Y  R  S) 
                (r  +  s) 
                (R  +  S))
            =  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  x  X  r  R) 
                  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  y  Y  s  S) 
                  (r  +  R) 
                  (s  +  S)))
12.  \mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  (a  <  b)\}  .  \mforall{}r:\{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\}  .  \mforall{}s:\{s:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  s\}  .  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}| 
                                                                                                                                                                                    s  <  t\}  .
            ((quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r  s)  <  (quasilinear-weighted-mean(f;g)  a  b  r  t))
13.  x  :  \mBbbR{}
14.  x  \mmember{}  I
15.  y  :  \mBbbR{}
16.  y  \mmember{}  I
17.  z  :  \mBbbR{}
18.  z  \mmember{}  I
19.  y  <  z
20.  r  :  \mBbbR{}
21.  r0  \mleq{}  r
22.  s  :  \mBbbR{}
23.  r0  <  s
24.  s  \mmember{}  \{s:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  s)  \mwedge{}  (r0  <  (r  +  s))\} 
\mvdash{}  (f  convex-comb(g  x;g  y;r;s))  <  (f  convex-comb(g  x;g  z;r;s))


By

---

Latex:
((Assert  r0  <  (r  +  s)  BY
                (RWO  "-4"  0  THEN  Auto))
  THEN  D  5
  THEN  BHyp  5
  THEN  Auto
  THEN  BLemma  `convex-comb-rless1`
  THEN  Auto
  THEN  MemTypeCD
  THEN  Auto)

---

Home Index