---

Step * 1 1 1 of Lemma rabs-Riemann-integral


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. ∀c1,c2:ℝ.
     ((c1 * (b - a)) ≤ ∫ f[x] dx on [a, b]) ∧ (∫ f[x] dx on [a, b] ≤ (c2 * (b - a))) 
     supposing ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ ((c1 ≤ f[x]) ∧ (f[x] ≤ c2)))
5. x : ℝ
6. x ∈ [a, b]
7. |f[x]| ≤ ||f[x]||_x:[a, b]
8. (||f[x]||_x:[a, b] * r(-1)) ≤ (|f[x]| * r(-1))
⊢ -(||f[x]||_x:[a, b]) ≤ f[x]
BY
{ Assert ⌜-(|f[x]|) ≤ f[x]⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. ∀c1,c2:ℝ.
     ((c1 * (b - a)) ≤ ∫ f[x] dx on [a, b]) ∧ (∫ f[x] dx on [a, b] ≤ (c2 * (b - a))) 
     supposing ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ ((c1 ≤ f[x]) ∧ (f[x] ≤ c2)))
5. x : ℝ
6. x ∈ [a, b]
7. |f[x]| ≤ ||f[x]||_x:[a, b]
8. (||f[x]||_x:[a, b] * r(-1)) ≤ (|f[x]| * r(-1))
⊢ -(|f[x]|) ≤ f[x]

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. ∀c1,c2:ℝ.
     ((c1 * (b - a)) ≤ ∫ f[x] dx on [a, b]) ∧ (∫ f[x] dx on [a, b] ≤ (c2 * (b - a))) 
     supposing ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ ((c1 ≤ f[x]) ∧ (f[x] ≤ c2)))
5. x : ℝ
6. x ∈ [a, b]
7. |f[x]| ≤ ||f[x]||_x:[a, b]
8. (||f[x]||_x:[a, b] * r(-1)) ≤ (|f[x]| * r(-1))
9. -(|f[x]|) ≤ f[x]
⊢ -(||f[x]||_x:[a, b]) ≤ f[x]

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  \mforall{}c1,c2:\mBbbR{}.
          ((c1  *  (b  -  a))  \mleq{}  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b])  \mwedge{}  (\mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]  \mleq{}  (c2  *  (b  -  a))) 
          supposing  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  ((c1  \mleq{}  f[x])  \mwedge{}  (f[x]  \mleq{}  c2)))
5.  x  :  \mBbbR{}
6.  x  \mmember{}  [a,  b]
7.  |f[x]|  \mleq{}  ||f[x]||\_x:[a,  b]
8.  (||f[x]||\_x:[a,  b]  *  r(-1))  \mleq{}  (|f[x]|  *  r(-1))
\mvdash{}  -(||f[x]||\_x:[a,  b])  \mleq{}  f[x]


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}-(|f[x]|)  \mleq{}  f[x]\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index