---

Step * 1 1 1 of Lemma radd_rcos-Taylor


1. b : ℝ
2. e : {e:ℝ| r0 < e} 
3. c : ℝ
4. rmin(π/2(slower);b) ≤ c
5. c ≤ rmax(π/2(slower);b)
6. |Taylor-remainder((-∞, ∞);2;b;π/2(slower);k,x.if (k =z 0) then radd_rcos(x)
if (k =z 1) then r1 - rsin(x)
if (k =z 2) then -(rcos(x))
else rsin(x)
fi ) - (b - c^2
* (if (2 + 1 =z 0) then radd_rcos(c)
  if (2 + 1 =z 1) then r1 - rsin(c)
  if (2 + 1 =z 2) then -(rcos(c))
  else rsin(c)
  fi /r((2)!)))
* (b - π/2(slower))| ≤ e
⊢ (radd_rcos(b) - ((radd_rcos(π/2(slower))/r1) * r1)
+ Σ{(if (k =z 0) then radd_rcos(π/2(slower))
  if (k =z 1) then r1 - rsin(π/2(slower))
  if (k =z 2) then -(rcos(π/2(slower)))
  else rsin(π/2(slower))
  fi /r((k)!))
  * b - π/2(slower)^k | 1≤k≤2})
= (radd_rcos(b) - π/2(slower))
BY
{ (Assert Σ{(if (k =z 0) then radd_rcos(π/2(slower))
         if (k =z 1) then r1 - rsin(π/2(slower))
         if (k =z 2) then -(rcos(π/2(slower)))
         else rsin(π/2(slower))
         fi /r((k)!))
         * b - π/2(slower)^k | 1≤k≤2}
         = r0 BY
         RepeatFor 2 (((RWO "rsum-split-first" 0 THENA Auto) THEN Reduce 0))) }

1
1. b : ℝ
2. e : {e:ℝ| r0 < e} 
3. c : ℝ
4. rmin(π/2(slower);b) ≤ c
5. c ≤ rmax(π/2(slower);b)
6. |Taylor-remainder((-∞, ∞);2;b;π/2(slower);k,x.if (k =z 0) then radd_rcos(x)
if (k =z 1) then r1 - rsin(x)
if (k =z 2) then -(rcos(x))
else rsin(x)
fi ) - (b - c^2
* (if (2 + 1 =z 0) then radd_rcos(c)
  if (2 + 1 =z 1) then r1 - rsin(c)
  if (2 + 1 =z 2) then -(rcos(c))
  else rsin(c)
  fi /r((2)!)))
* (b - π/2(slower))| ≤ e
⊢ (((r1 - rsin(π/2(slower))/r((1)!)) * b - π/2(slower)^1)
+ ((-(rcos(π/2(slower)))/r((2)!)) * b - π/2(slower)^2)
+ Σ{(if (k =z 0) then radd_rcos(π/2(slower))
  if (k =z 1) then r1 - rsin(π/2(slower))
  if (k =z 2) then -(rcos(π/2(slower)))
  else rsin(π/2(slower))
  fi /r((k)!))
  * b - π/2(slower)^k | 3≤k≤2})
= r0

2
1. b : ℝ
2. e : {e:ℝ| r0 < e} 
3. c : ℝ
4. rmin(π/2(slower);b) ≤ c
5. c ≤ rmax(π/2(slower);b)
6. |Taylor-remainder((-∞, ∞);2;b;π/2(slower);k,x.if (k =z 0) then radd_rcos(x)
if (k =z 1) then r1 - rsin(x)
if (k =z 2) then -(rcos(x))
else rsin(x)
fi ) - (b - c^2
* (if (2 + 1 =z 0) then radd_rcos(c)
  if (2 + 1 =z 1) then r1 - rsin(c)
  if (2 + 1 =z 2) then -(rcos(c))
  else rsin(c)
  fi /r((2)!)))
* (b - π/2(slower))| ≤ e
7. Σ{(if (k =z 0) then radd_rcos(π/2(slower))
if (k =z 1) then r1 - rsin(π/2(slower))
if (k =z 2) then -(rcos(π/2(slower)))
else rsin(π/2(slower))
fi /r((k)!))
* b - π/2(slower)^k | 1≤k≤2}
= r0
⊢ (radd_rcos(b) - ((radd_rcos(π/2(slower))/r1) * r1)
+ Σ{(if (k =z 0) then radd_rcos(π/2(slower))
  if (k =z 1) then r1 - rsin(π/2(slower))
  if (k =z 2) then -(rcos(π/2(slower)))
  else rsin(π/2(slower))
  fi /r((k)!))
  * b - π/2(slower)^k | 1≤k≤2})
= (radd_rcos(b) - π/2(slower))

---

Latex:

---

Latex:

1.  b  :  \mBbbR{}
2.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
3.  c  :  \mBbbR{}
4.  rmin(\mpi{}/2(slower);b)  \mleq{}  c
5.  c  \mleq{}  rmax(\mpi{}/2(slower);b)
6.  |Taylor-remainder((-\minfty{},  \minfty{});2;b;\mpi{}/2(slower);k,x.if  (k  =\msubz{}  0)  then  radd\_rcos(x)
if  (k  =\msubz{}  1)  then  r1  -  rsin(x)
if  (k  =\msubz{}  2)  then  -(rcos(x))
else  rsin(x)
fi  )  -  (b  -  c\^{}2
*  (if  (2  +  1  =\msubz{}  0)  then  radd\_rcos(c)
    if  (2  +  1  =\msubz{}  1)  then  r1  -  rsin(c)
    if  (2  +  1  =\msubz{}  2)  then  -(rcos(c))
    else  rsin(c)
    fi  /r((2)!)))
*  (b  -  \mpi{}/2(slower))|  \mleq{}  e
\mvdash{}  (radd\_rcos(b)  -  ((radd\_rcos(\mpi{}/2(slower))/r1)  *  r1)
+  \mSigma{}\{(if  (k  =\msubz{}  0)  then  radd\_rcos(\mpi{}/2(slower))
    if  (k  =\msubz{}  1)  then  r1  -  rsin(\mpi{}/2(slower))
    if  (k  =\msubz{}  2)  then  -(rcos(\mpi{}/2(slower)))
    else  rsin(\mpi{}/2(slower))
    fi  /r((k)!))
    *  b  -  \mpi{}/2(slower)\^{}k  |  1\mleq{}k\mleq{}2\})
=  (radd\_rcos(b)  -  \mpi{}/2(slower))


By

---

Latex:
(Assert  \mSigma{}\{(if  (k  =\msubz{}  0)  then  radd\_rcos(\mpi{}/2(slower))
              if  (k  =\msubz{}  1)  then  r1  -  rsin(\mpi{}/2(slower))
              if  (k  =\msubz{}  2)  then  -(rcos(\mpi{}/2(slower)))
              else  rsin(\mpi{}/2(slower))
              fi  /r((k)!))
              *  b  -  \mpi{}/2(slower)\^{}k  |  1\mleq{}k\mleq{}2\}
              =  r0  BY
              RepeatFor  2  (((RWO  "rsum-split-first"  0  THENA  Auto)  THEN  Reduce  0)))

---

Home Index