---

Step * 2 1 of Lemma rcos-is-1-iff


1. x : ℝ
2. rcos(x) = r1
3. ∀n:ℕ. (((2 * π * r(n)) < |x|) ⇒ ((2 * π * r(n + 1)) ≤ |x|))
⊢ ∃n:ℤ. (x = 2 * n * π)
BY
{ ((Assert r0 < 2 * π BY
          (D 0 With ⌜10⌝  THEN Auto))
   THEN (Assert ∀n:ℕ. ((r(n) < |(x/2 * π)|) ⇒ (r(n + 1) ≤ |(x/2 * π)|)) BY
               (ParallelOp -2
                THEN (Assert |2 * π| = 2 * π BY
                            (RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto))
                THEN (RWO  "rabs-rdiv" 0 THENA Auto)
                THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
                THEN (ParallelOp -2
                      THENL [(nRMul ⌜2 * π⌝ (-1)⋅ THEN Auto); (nRMul ⌜2 * π⌝ 0⋅ THEN Auto THEN nRNorm (-1) THEN Auto)]
                )))
   ) }

1
1. x : ℝ
2. rcos(x) = r1
3. ∀n:ℕ. (((2 * π * r(n)) < |x|) ⇒ ((2 * π * r(n + 1)) ≤ |x|))
4. r0 < 2 * π
5. ∀n:ℕ. ((r(n) < |(x/2 * π)|) ⇒ (r(n + 1) ≤ |(x/2 * π)|))
⊢ ∃n:ℤ. (x = 2 * n * π)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  rcos(x)  =  r1
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (((2  *  \mpi{}  *  r(n))  <  |x|)  {}\mRightarrow{}  ((2  *  \mpi{}  *  r(n  +  1))  \mleq{}  |x|))
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbZ{}.  (x  =  2  *  n  *  \mpi{})


By

---

Latex:
((Assert  r0  <  2  *  \mpi{}  BY
                (D  0  With  \mkleeneopen{}10\mkleeneclose{}    THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((r(n)  <  |(x/2  *  \mpi{})|)  {}\mRightarrow{}  (r(n  +  1)  \mleq{}  |(x/2  *  \mpi{})|))  BY
                          (ParallelOp  -2
                            THEN  (Assert  |2  *  \mpi{}|  =  2  *  \mpi{}  BY
                                                    (RWO  "rabs-of-nonneg"  0  THEN  Auto))
                            THEN  (RWO    "rabs-rdiv"  0  THENA  Auto)
                            THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
                            THEN  (ParallelOp  -2
                                        THENL  [(nRMul  \mkleeneopen{}2  *  \mpi{}\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THEN  Auto)
                                                    ;  (nRMul  \mkleeneopen{}2  *  \mpi{}\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  nRNorm  (-1)  THEN  Auto)]
                            )))
  )

---

Home Index