---

Step * of Lemma separated-partition-sum

∀I:Interval
  (icompact(I)
  ⇒ (∀f:I ⟶ℝ. ∀mc:f[x] continuous for x ∈ I. ∀q:partition(I). ∀n:ℕ+.
        ((partition-mesh(I;q) ≤ (mc 1 n))
        ⇒ (∀p:partition(I). ∀m:ℕ+.
              ((partition-mesh(I;p) ≤ (mc 1 m))
              ⇒ separated-partitions(p;q)
              ⇒ (∀x:partition-choice(full-partition(I;p)). ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
                    (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ (((r1/r(n)) + (r1/r(m))) * |I|))))))))
BY
{ (RepeatFor 4 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (Assert ∀m,n:ℕ+.
                  (mc m n ∈ {d:ℝ| 
                             (r0 < d)
                             ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} ) BY
               ((UnivCD THENA Auto) THEN Unfold `continuous` 4 THEN DoSubsume THEN Auto))
   THEN RepeatFor 7 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (FLemma `separated-partitions-have-common-refinement` [-1] THENA Auto)
   THEN Fold `partition-refines` (-1)
   THEN ExRepD
   THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I
5. ∀m,n:ℕ+.
     (mc m n ∈ {d:ℝ| (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )
6. q : partition(I)
7. n : ℕ+
8. partition-mesh(I;q) ≤ (mc 1 n)
9. p : partition(I)
10. m : ℕ+
11. partition-mesh(I;p) ≤ (mc 1 m)
12. separated-partitions(p;q)
13. R : partition(I)
14. frs-increasing(R)
15. R refines p
16. R refines q
17. x : partition-choice(full-partition(I;p))
18. y : partition-choice(full-partition(I;q))
⊢ |S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ (((r1/r(n)) + (r1/r(m))) * |I|)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval
    (icompact(I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}mc:f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I.  \mforall{}q:partition(I).  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.
                ((partition-mesh(I;q)  \mleq{}  (mc  1  n))
                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}p:partition(I).  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.
                            ((partition-mesh(I;p)  \mleq{}  (mc  1  m))
                            {}\mRightarrow{}  separated-partitions(p;q)
                            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:partition-choice(full-partition(I;p)).
                                    \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;q)).
                                        (|S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  (((r1/r(n))
                                        +  (r1/r(m)))
                                        *  |I|))))))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  4  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}m,n:\mBbbN{}\msupplus{}.
                                (mc  m  n  \mmember{}  \{d:\mBbbR{}| 
                                                      (r0  <  d)
                                                      \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                                                ((x  \mmember{}  I)
                                                                {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)
                                                                {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                                                {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n)))))\}  )  BY
                          ((UnivCD  THENA  Auto)  THEN  Unfold  `continuous`  4  THEN  DoSubsume  THEN  Auto))
  THEN  RepeatFor  7  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (FLemma  `separated-partitions-have-common-refinement`  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  Fold  `partition-refines`  (-1)
  THEN  ExRepD
  THEN  Auto)

---

Home Index