---

Step * 2 1 of Lemma presheaf-subset_wf


1. C : SmallCategory
2. F : Presheaf(C)
3. P : I:cat-ob(C) ⟶ (ob(F) I) ⟶ ℙ
4. stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
5. I : cat-ob(C)
6. J : cat-ob(C)
7. K : cat-ob(C)
8. f : cat-arrow(C) J I
9. g : cat-arrow(C) K J
10. rho : ob(F) I
11. P[I;rho]
⊢ (arrow(F) I K (cat-comp(C) K J I g f) rho) = (arrow(F) J K g (arrow(F) I J f rho)) ∈ (ob(F) K)
BY
{ (InstLemma `functor-arrow-comp` [⌜parm{i'}⌝;⌜op-cat(C)⌝;⌜TypeCat⌝;⌜F⌝;⌜I⌝;⌜J⌝;⌜K⌝]⋅ THEN Auto) }

1
1. C : SmallCategory
2. F : Presheaf(C)
3. P : I:cat-ob(C) ⟶ (ob(F) I) ⟶ ℙ
4. stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
5. I : cat-ob(C)
6. J : cat-ob(C)
7. K : cat-ob(C)
8. f : cat-arrow(C) J I
9. g : cat-arrow(C) K J
10. rho : ob(F) I
11. P[I;rho]
12. ∀[f:cat-arrow(op-cat(C)) I J]. ∀[g:cat-arrow(op-cat(C)) J K].
      ((arrow(F) I K (cat-comp(op-cat(C)) I J K f g))
      = (cat-comp(TypeCat) (ob(F) I) (ob(F) J) (ob(F) K) (arrow(F) I J f) (arrow(F) J K g))
      ∈ (cat-arrow(TypeCat) (ob(F) I) (ob(F) K)))
⊢ (arrow(F) I K (cat-comp(C) K J I g f) rho) = (arrow(F) J K g (arrow(F) I J f rho)) ∈ (ob(F) K)

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  F  :  Presheaf(C)
3.  P  :  I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  (ob(F)  I)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
5.  I  :  cat-ob(C)
6.  J  :  cat-ob(C)
7.  K  :  cat-ob(C)
8.  f  :  cat-arrow(C)  J  I
9.  g  :  cat-arrow(C)  K  J
10.  rho  :  ob(F)  I
11.  P[I;rho]
\mvdash{}  (arrow(F)  I  K  (cat-comp(C)  K  J  I  g  f)  rho)  =  (arrow(F)  J  K  g  (arrow(F)  I  J  f  rho))


By

---

Latex:
(InstLemma  `functor-arrow-comp`  [\mkleeneopen{}parm\{i'\}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}op-cat(C)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}TypeCat\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}F\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}J\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}K\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index