---

Step * 2 of Lemma simple_fan_theorem'


1. [X] : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ 𝔹.  Dec(X[n;s])
4. n : ℕ@i
5. s : ℕn ⟶ 𝔹@i
6. ∀t:𝔹. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)])])
⊢ ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[n + m;seq-append(n;m;s;f)])]
BY
{ (((InstHyp [⌜tt⌝] (-1)⋅ THENA Auto)⋅ THEN D -1)
   THEN (InstHyp [⌜ff⌝] (-3)⋅ THENA Auto)⋅
   THEN D -1
   THEN D 0 With ⌜imax(k;k1) + 1⌝ 
   THEN Auto) }

1
1. X : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ 𝔹.  Dec(X[n;s])
4. n : ℕ@i
5. s : ℕn ⟶ 𝔹@i
6. ∀t:𝔹. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)])])
7. k : ℕ
8. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++tt;f)]
9. k1 : ℕ
10. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk1. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++ff;f)]
11. f : ℕ ⟶ 𝔹
⊢ ∃m:ℕimax(k;k1) + 1. X[n + m;seq-append(n;m;s;f)]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  X[n;f])
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    Dec(X[n;s])
4.  n  :  \mBbbN{}@i
5.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}@i
6.  \mforall{}t:\mBbbB{}.  (\mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[(n  +  1)  +  m;seq-append(n  +  1;m;s++t;f)])])
\mvdash{}  \mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[n  +  m;seq-append(n;m;s;f)])]


By

---

Latex:
(((InstHyp  [\mkleeneopen{}tt\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)\mcdot{}  THEN  D  -1)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}ff\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto)\mcdot{}
  THEN  D  -1
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}imax(k;k1)  +  1\mkleeneclose{} 
  THEN  Auto)

---

Home Index