---

Step * 2 1 2 6 1 1 of Lemma coW-game-step-isom


1. A : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. w' : coW(A;a.B[a])
5. t : coW-dom(a.B[a];w)
6. b : coW-dom(a.B[a];w')
7. λp.let u,v = p 
      in <copath-cons(t;u), copath-cons(b;v)> ∈ Pos(sg-normalize(coW-game(a.B[a];coW-item(w;t);coW-item(w';b))))
   ⟶ Pos(coW-game(a.B[a];w;w')@<copath-cons(t;()), copath-cons(b;())>)
8. Pos(coW-game(a.B[a];w;w')@<copath-cons(t;()), copath-cons(b;())>) ⊆r {p:copath(a.B[a];w) × copath(a.B[a];w')| 
                                                 let p1,p2 = p 
                                                 in (0 < copath-length(p1) ∧ (copath-hd(p1) = t ∈ coW-dom(a.B[a];w)))
                                                    ∧ 0 < copath-length(p2)
                                                    ∧ (copath-hd(p2) = b ∈ coW-dom(a.B[a];w'))} 
9. λp.let u,v = p 
      in <copath-tl(u), copath-tl(v)> ∈ Pos(coW-game(a.B[a];w;w')@<copath-cons(t;()), copath-cons(b;())>) ⟶ Pos(sg-norm\000Calize(coW-game(a.B[a];coW-item(w;t);coW-item(w';b))))
10. ∀x,y:Pos(sg-normalize(coW-game(a.B[a];coW-item(w;t);coW-item(w';b)))).
      (Legal1(x;y)
      ⇒ Legal1(let u,v = x 
                in <copath-cons(t;u), copath-cons(b;v)>;let u,v = y 
                                                        in <copath-cons(t;u), copath-cons(b;v)>))
11. ∀x,y:Pos(sg-normalize(coW-game(a.B[a];coW-item(w;t);coW-item(w';b)))).
      (Legal2(x;y)
      ⇒ Legal2(let u,v = x 
                in <copath-cons(t;u), copath-cons(b;v)>;let u,v = y 
                                                        in <copath-cons(t;u), copath-cons(b;v)>))
12. ∀x,y:Pos(coW-game(a.B[a];w;w')@<copath-cons(t;()), copath-cons(b;())>).
      (Legal1(x;y) ⇒ Legal1(let u,v = x in <copath-tl(u), copath-tl(v)>;let u,v = y in <copath-tl(u), copath-tl(v)>))
13. ∀x,y:Pos(coW-game(a.B[a];w;w')@<copath-cons(t;()), copath-cons(b;())>).
      (Legal2(x;y) ⇒ Legal2(let u,v = x in <copath-tl(u), copath-tl(v)>;let u,v = y in <copath-tl(u), copath-tl(v)>))
14. x : Pos(coW-game(a.B[a];w;w'))
15. sg-reachable(coW-game(a.B[a];w;w');<copath-cons(t;()), copath-cons(b;())>;x)
16. x ∈ {p:copath(a.B[a];w) × copath(a.B[a];w')| 
         let p1,p2 = p 
         in (0 < copath-length(p1) ∧ (copath-hd(p1) = t ∈ coW-dom(a.B[a];w)))
            ∧ 0 < copath-length(p2)
            ∧ (copath-hd(p2) = b ∈ coW-dom(a.B[a];w'))} 
17. p1 : copath(a.B[a];w)
18. p2 : copath(a.B[a];w')
19. (0 < copath-length(p1) ∧ (copath-hd(p1) = t ∈ coW-dom(a.B[a];w)))
∧ 0 < copath-length(p2)
∧ (copath-hd(p2) = b ∈ coW-dom(a.B[a];w'))
⊢ <p1, p2> = <copath-cons(t;copath-tl(p1)), copath-cons(b;copath-tl(p2))> ∈ Pos(coW-game(a.B[a];w;w'))
BY
{ (RepUR ``sg-pos coW-game`` 0 THEN EqCD THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  \mBbbU{}'
2.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  w  :  coW(A;a.B[a])
4.  w'  :  coW(A;a.B[a])
5.  t  :  coW-dom(a.B[a];w)
6.  b  :  coW-dom(a.B[a];w')
7.  \mlambda{}p.let  u,v  =  p 
            in  <copath-cons(t;u),  copath-cons(b;v)>
      \mmember{}  Pos(sg-normalize(coW-game(a.B[a];coW-item(w;t);coW-item(w';b))))
      {}\mrightarrow{}  Pos(coW-game(a.B[a];w;w')@<copath-cons(t;()),  copath-cons(b;())>)
8.  Pos(coW-game(a.B[a];w;w')@<copath-cons(t;()),  copath-cons(b;())>)  \msubseteq{}r  \{p:copath(a.B[a];w)  \mtimes{}  copath\000C(a.B[a];w')| 
                                                                                                  let  p1,p2  =  p 
                                                                                                  in  (0  <  copath-length(p1)  \mwedge{}  (copath-hd(p1)  =  t))
                                                                                                        \mwedge{}  0  <  copath-length(p2)
                                                                                                        \mwedge{}  (copath-hd(p2)  =  b)\} 
9.  \mlambda{}p.let  u,v  =  p 
            in  <copath-tl(u),  copath-tl(v)>  \mmember{}  Pos(coW-game(a.B[a];w;w')@<copath-cons(t;())
                                                                                                                                    ,  copath-cons(b;())
                                                                                                                                    >)  {}\mrightarrow{}  Pos(sg-normalize(coW-game(a.\000CB[a];coW-item(w;t);coW-item(w';b))))
10.  \mforall{}x,y:Pos(sg-normalize(coW-game(a.B[a];coW-item(w;t);coW-item(w';b)))).
            (Legal1(x;y)
            {}\mRightarrow{}  Legal1(let  u,v  =  x 
                                in  <copath-cons(t;u),  copath-cons(b;v)>let  u,v  =  y 
                                                                                                                in  <copath-cons(t;u),  copath-cons(b;v)>))
11.  \mforall{}x,y:Pos(sg-normalize(coW-game(a.B[a];coW-item(w;t);coW-item(w';b)))).
            (Legal2(x;y)
            {}\mRightarrow{}  Legal2(let  u,v  =  x 
                                in  <copath-cons(t;u),  copath-cons(b;v)>let  u,v  =  y 
                                                                                                                in  <copath-cons(t;u),  copath-cons(b;v)>))
12.  \mforall{}x,y:Pos(coW-game(a.B[a];w;w')@<copath-cons(t;()),  copath-cons(b;())>).
            (Legal1(x;y)
            {}\mRightarrow{}  Legal1(let  u,v  =  x 
                                in  <copath-tl(u),  copath-tl(v)>let  u,v  =  y 
                                                                                                in  <copath-tl(u),  copath-tl(v)>))
13.  \mforall{}x,y:Pos(coW-game(a.B[a];w;w')@<copath-cons(t;()),  copath-cons(b;())>).
            (Legal2(x;y)
            {}\mRightarrow{}  Legal2(let  u,v  =  x 
                                in  <copath-tl(u),  copath-tl(v)>let  u,v  =  y 
                                                                                                in  <copath-tl(u),  copath-tl(v)>))
14.  x  :  Pos(coW-game(a.B[a];w;w'))
15.  sg-reachable(coW-game(a.B[a];w;w');<copath-cons(t;()),  copath-cons(b;())>x)
16.  x  \mmember{}  \{p:copath(a.B[a];w)  \mtimes{}  copath(a.B[a];w')| 
                  let  p1,p2  =  p 
                  in  (0  <  copath-length(p1)  \mwedge{}  (copath-hd(p1)  =  t))
                        \mwedge{}  0  <  copath-length(p2)
                        \mwedge{}  (copath-hd(p2)  =  b)\} 
17.  p1  :  copath(a.B[a];w)
18.  p2  :  copath(a.B[a];w')
19.  (0  <  copath-length(p1)  \mwedge{}  (copath-hd(p1)  =  t))  \mwedge{}  0  <  copath-length(p2)  \mwedge{}  (copath-hd(p2)  =  b)
\mvdash{}  <p1,  p2>  =  <copath-cons(t;copath-tl(p1)),  copath-cons(b;copath-tl(p2))>


By

---

Latex:
(RepUR  ``sg-pos  coW-game``  0  THEN  EqCD  THEN  Auto)

---

Home Index