---

Step * 2 of Lemma pW-rec_wf


1. P : Type
2. A : P ⟶ Type
3. B : p:P ⟶ A[p] ⟶ Type
4. C : p:P ⟶ a:A[p] ⟶ B[p;a] ⟶ P
5. pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]) ∈ Type
6. pW ∈ P ⟶ Type
7. Q : par:P ⟶ (pW par) ⟶ ℙ
8. ind : par:P
⟶ a:A[par]
⟶ f:(b:B[par;a] ⟶ (pW C[par;a;b]))
⟶ (b:B[par;a] ⟶ Q[C[par;a;b];f b])
⟶ Q[par;pW-sup(a;f)]
9. par : P
10. w : pW par
11. param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) ∈ n:ℕ
    ⟶ (ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))
    ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
    ⟶ ℙ
12. ∀[pp:n:ℕ × (ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))]. (Barred(pp) ∈ ℙ)
13. n : ℕ
14. s : ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
15. ∀%6:ℕn. (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) %6 s (s %6))
16. m : Barred(<n, s>)
⊢ if (0) < (n)
     then let q,w',d = s (n - 1) in 
          case d
           of inl(b) =>
           let a,f = w' 
           in let ind(p,a,f,G) = ind[p;a;f;G] in 
              letrec F(p,w) = let a,f=w in 
                              ind(p,a,f,λb.F(C[p;a;b],f(b)) in 
              F(C[q;a;b];f b)
           | inr(z) =>
           Ax
     else let ind(p,a,f,G) = ind[p;a;f;G] in 
          letrec F(p,w) = let a,f=w in 
                          ind(p,a,f,λb.F(C[p;a;b],f(b)) in 
          F(par;w) ∈ if (0) < (n)
                        then let q,w',d = s (n - 1) in 
                             case d of inl(b) => let a,f = w' in Q[C[q;a;b];f b] | inr(z) => True
                        else Q[par;w]
BY
{ TACTIC:(RepUR ``pcw-pp-barred`` (-1)
          THEN D -1
          THEN MoveToConcl (-1)
          THEN (GenConclTerm ⌜s (n - 1)⌝⋅ THENA Auto)
          THEN RepeatFor 3 (D -2)
          THEN Reduce 0
          THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  Type
2.  A  :  P  {}\mrightarrow{}  Type
3.  B  :  p:P  {}\mrightarrow{}  A[p]  {}\mrightarrow{}  Type
4.  C  :  p:P  {}\mrightarrow{}  a:A[p]  {}\mrightarrow{}  B[p;a]  {}\mrightarrow{}  P
5.  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])  \mmember{}  Type
6.  pW  \mmember{}  P  {}\mrightarrow{}  Type
7.  Q  :  par:P  {}\mrightarrow{}  (pW  par)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
8.  ind  :  par:P
{}\mrightarrow{}  a:A[par]
{}\mrightarrow{}  f:(b:B[par;a]  {}\mrightarrow{}  (pW  C[par;a;b]))
{}\mrightarrow{}  (b:B[par;a]  {}\mrightarrow{}  Q[C[par;a;b];f  b])
{}\mrightarrow{}  Q[par;pW-sup(a;f)]
9.  par  :  P
10.  w  :  pW  par
11.  param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w)  \mmember{}  n:\mBbbN{}
        {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))
        {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
        {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
12.  \mforall{}[pp:n:\mBbbN{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))].  (Barred(pp)  \mmember{}  \mBbbP{})
13.  n  :  \mBbbN{}
14.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
15.  \mforall{}\%6:\mBbbN{}n.  (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w)  \%6  s  (s  \%6))
16.  m  :  Barred(<n,  s>)
\mvdash{}  if  (0)  <  (n)
          then  let  q,w',d  =  s  (n  -  1)  in 
                    case  d
                      of  inl(b)  =>
                      let  a,f  =  w' 
                      in  let  ind(p,a,f,G)  =  ind[p;a;f;G]  in 
                            letrec  F(p,w)  =  let  a,f=w  in 
                                                            ind(p,a,f,\mlambda{}b.F(C[p;a;b],f(b))  in 
                            F(C[q;a;b];f  b)
                      |  inr(z)  =>
                      Ax
          else  let  ind(p,a,f,G)  =  ind[p;a;f;G]  in 
                    letrec  F(p,w)  =  let  a,f=w  in 
                                                    ind(p,a,f,\mlambda{}b.F(C[p;a;b],f(b))  in 
                    F(par;w)  \mmember{}  if  (0)  <  (n)
                                                then  let  q,w',d  =  s  (n  -  1)  in 
                                                          case  d  of  inl(b)  =>  let  a,f  =  w'  in  Q[C[q;a;b];f  b]  |  inr(z)  =>  True
                                                else  Q[par;w]


By

---

Latex:
TACTIC:(RepUR  ``pcw-pp-barred``  (-1)
                THEN  D  -1
                THEN  MoveToConcl  (-1)
                THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}s  (n  -  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  RepeatFor  3  (D  -2)
                THEN  Reduce  0
                THEN  Auto)

---

Home Index