---

Step * 3 1 2 of Lemma pW-rec_wf


1. P : Type
2. A : P ⟶ Type
3. B : p:P ⟶ A[p] ⟶ Type
4. C : p:P ⟶ a:A[p] ⟶ B[p;a] ⟶ P
5. pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]) ∈ Type
6. pW ∈ P ⟶ Type
7. Q : par:P ⟶ (pW par) ⟶ ℙ
8. ind : par:P
⟶ a:A[par]
⟶ f:(b:B[par;a] ⟶ (pW C[par;a;b]))
⟶ (b:B[par;a] ⟶ Q[C[par;a;b];f b])
⟶ Q[par;pW-sup(a;f)]
9. par : P
10. w : pW par
11. param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) ∈ n:ℕ
    ⟶ (ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))
    ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
    ⟶ ℙ
12. ∀[pp:n:ℕ × (ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))]. (Barred(pp) ∈ ℙ)
13. n : ℕ
14. ¬0 < n
15. s : ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
16. ∀%6:ℕn. (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) %6 s (s %6))
17. ∀t:{t:pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])| param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) n s t} 
      (let q,w',d = t in 
       case d
        of inl(b) =>
        let a,f = w' 
        in let ind(p,a,f,G) = ind[p;a;f;G] in 
           letrec F(p,w) = let a,f=w in 
                           ind(p,a,f,λb.F(C[p;a;b],f(b)) in 
           F(C[q;a;b];f b)
        | inr(z) =>
        Ax ∈ let q,w',d = t in 
       case d of inl(b) => let a,f = w' in Q[C[q;a;b];f b] | inr(z) => True)
⊢ let ind(p,a,f,G) = ind[p;a;f;G] in 
  letrec F(p,w) = let a,f=w in 
                  ind(p,a,f,λb.F(C[p;a;b],f(b)) in 
  F(par;w) ∈ Q[par;w]
BY
{ TACTIC:(TACTIC:RecUnfold `pW-rec` 0
          THEN TACTIC:(Assert w ∈ pW par BY
                             Declaration)
          THEN RepUR ``param-W`` 10
          THEN D 10
          THEN pcoWD 10
          THEN D 10
          THEN Reduce 0) }

1
1. P : Type
2. A : P ⟶ Type
3. B : p:P ⟶ A[p] ⟶ Type
4. C : p:P ⟶ a:A[p] ⟶ B[p;a] ⟶ P
5. pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]) ∈ Type
6. pW ∈ P ⟶ Type
7. Q : par:P ⟶ (pW par) ⟶ ℙ
8. ind : par:P
⟶ a:A[par]
⟶ f:(b:B[par;a] ⟶ (pW C[par;a;b]))
⟶ (b:B[par;a] ⟶ Q[C[par;a;b];f b])
⟶ Q[par;pW-sup(a;f)]
9. par : P
10. a : A[par]
11. w1 : b:B[par;a] ⟶ (pco-W C[par;a;b])
12. ∀path:Path. (StepAgree(path 0;par;<a, w1>) ⇒ (↓∃n:ℕ. Barred(pcw-partial(path;n))))
13. param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;<a, w1>) ∈ n:ℕ
    ⟶ (ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))
    ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
    ⟶ ℙ
14. ∀[pp:n:ℕ × (ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))]. (Barred(pp) ∈ ℙ)
15. n : ℕ
16. ¬0 < n
17. s : ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
18. ∀%6:ℕn. (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;<a, w1>) %6 s (s %6))
19. ∀t:{t:pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])| param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;<a, w1>) n s \000Ct} 
      (let q,w',d = t in 
       case d
        of inl(b) =>
        let a,f = w' 
        in let ind(p,a,f,G) = ind[p;a;f;G] in 
           letrec F(p,w) = let a,f=w in 
                           ind(p,a,f,λb.F(C[p;a;b],f(b)) in 
           F(C[q;a;b];f b)
        | inr(z) =>
        Ax ∈ let q,w',d = t in 
       case d of inl(b) => let a,f = w' in Q[C[q;a;b];f b] | inr(z) => True)
20. <a, w1> ∈ pW par
⊢ ind[par;a;w1;λb.let ind(p,a,f,G) = ind[p;a;f;G] in 
                  letrec F(p,w) = let a,f=w in 
                                  ind(p,a,f,λb.F(C[p;a;b],f(b)) in 
                  F(C[par;a;b];w1 b)] ∈ Q[par;<a, w1>]

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  Type
2.  A  :  P  {}\mrightarrow{}  Type
3.  B  :  p:P  {}\mrightarrow{}  A[p]  {}\mrightarrow{}  Type
4.  C  :  p:P  {}\mrightarrow{}  a:A[p]  {}\mrightarrow{}  B[p;a]  {}\mrightarrow{}  P
5.  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])  \mmember{}  Type
6.  pW  \mmember{}  P  {}\mrightarrow{}  Type
7.  Q  :  par:P  {}\mrightarrow{}  (pW  par)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
8.  ind  :  par:P
{}\mrightarrow{}  a:A[par]
{}\mrightarrow{}  f:(b:B[par;a]  {}\mrightarrow{}  (pW  C[par;a;b]))
{}\mrightarrow{}  (b:B[par;a]  {}\mrightarrow{}  Q[C[par;a;b];f  b])
{}\mrightarrow{}  Q[par;pW-sup(a;f)]
9.  par  :  P
10.  w  :  pW  par
11.  param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w)  \mmember{}  n:\mBbbN{}
        {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))
        {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
        {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
12.  \mforall{}[pp:n:\mBbbN{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))].  (Barred(pp)  \mmember{}  \mBbbP{})
13.  n  :  \mBbbN{}
14.  \mneg{}0  <  n
15.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
16.  \mforall{}\%6:\mBbbN{}n.  (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w)  \%6  s  (s  \%6))
17.  \mforall{}t:\{t:pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])| 
                param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w)  n  s  t\} 
            (let  q,w',d  =  t  in 
              case  d
                of  inl(b)  =>
                let  a,f  =  w' 
                in  let  ind(p,a,f,G)  =  ind[p;a;f;G]  in 
                      letrec  F(p,w)  =  let  a,f=w  in 
                                                      ind(p,a,f,\mlambda{}b.F(C[p;a;b],f(b))  in 
                      F(C[q;a;b];f  b)
                |  inr(z)  =>
                Ax  \mmember{}  let  q,w',d  =  t  in 
              case  d  of  inl(b)  =>  let  a,f  =  w'  in  Q[C[q;a;b];f  b]  |  inr(z)  =>  True)
\mvdash{}  let  ind(p,a,f,G)  =  ind[p;a;f;G]  in 
    letrec  F(p,w)  =  let  a,f=w  in 
                                    ind(p,a,f,\mlambda{}b.F(C[p;a;b],f(b))  in 
    F(par;w)  \mmember{}  Q[par;w]


By

---

Latex:
TACTIC:(TACTIC:RecUnfold  `pW-rec`  0
                THEN  TACTIC:(Assert  w  \mmember{}  pW  par  BY
                                                      Declaration)
                THEN  RepUR  ``param-W``  10
                THEN  D  10
                THEN  pcoWD  10
                THEN  D  10
                THEN  Reduce  0)

---

Home Index