---

Step * 1 1 2 1 2 1 of Lemma basic-implies-strong-continuity2


1. [T] : Type
2. [F] : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
4. [%2] : ∀f:ℕ ⟶ T
            ((∃n:ℕ. ((M n f) = (F f) ∈ ℕ))
            ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer)
            ∧ (∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)))
5. f : ℕ ⟶ T
6. ∀[x:ℕ ⋃ (ℕ × ℕ)]. (int?(x) ∈ {y:ℤ| y ~ x}  + (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ)))
⊢ ∀n:ℕ
    case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) 
    supposing ↑isl(case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅ )
BY
{ (Assert ∀n:ℕ. (int?(M n f) ∈ {y:ℤ| y ~ F f}  + (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))) BY
         (D 0
          THENL [(Unhide
                  THEN (D -4 With ⌜f⌝  THENA Auto)
                  THEN ExRepD
                  THEN ((D -2 With ⌜n⌝  THENA Auto) THEN MoveToConcl (-1))
                  THEN (GenConclTerm ⌜M n f⌝⋅ THENA Auto)
                  THEN (D 0 THENW (D -2 THEN All  Reduce THEN Auto))
                  THEN ((D -3
                         THEN All Reduce
                         THEN ((Fold `member` 0 THEN Auto)
                         ORELSE (Unfold `int?` 0 THEN (CallByValueReduce 0 THENA Auto))
                         ))
                        THENL [(Reduce 0
                                THEN ((Fold `member` 0 THEN Auto) ORELSE ((MemCD THENA Auto) THEN MemTypeCD THEN Auto))
                                )
                              ; (DVar `a1' THEN Reduce 0 THEN Auto)]
                  ))
                ; Auto]
         )) }

1
1. [T] : Type
2. [F] : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
4. [%2] : ∀f:ℕ ⟶ T
            ((∃n:ℕ. ((M n f) = (F f) ∈ ℕ))
            ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer)
            ∧ (∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)))
5. f : ℕ ⟶ T
6. ∀[x:ℕ ⋃ (ℕ × ℕ)]. (int?(x) ∈ {y:ℤ| y ~ x}  + (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ)))
7. ∀n:ℕ. (int?(M n f) ∈ {y:ℤ| y ~ F f}  + (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ)))
⊢ ∀n:ℕ
    case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) 
    supposing ↑isl(case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅ )

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [F]  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  \mcup{}  (\mBbbN{}  \mtimes{}  \mBbbN{}))
4.  [\%2]  :  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
                        ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (F  f)))
                        \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (F  f)  supposing  M  n  f  is  an  integer)
                        \mwedge{}  (\mforall{}n,m:\mBbbN{}.    ((n  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  M  n  f  is  an  integer  {}\mRightarrow{}  M  m  f  is  an  integer)))
5.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
6.  \mforall{}[x:\mBbbN{}  \mcup{}  (\mBbbN{}  \mtimes{}  \mBbbN{})].  (int?(x)  \mmember{}  \{y:\mBbbZ{}|  y  \msim{}  x\}    +  (\mBbbN{}  \mcup{}  (\mBbbN{}  \mtimes{}  \mBbbN{})))
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}
        case  int?(M  n  f)  of  inl(x)  =>  inl  x  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}    =  (inl  (F  f)) 
        supposing  \muparrow{}isl(case  int?(M  n  f)  of  inl(x)  =>  inl  x  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}  )


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (int?(M  n  f)  \mmember{}  \{y:\mBbbZ{}|  y  \msim{}  F  f\}    +  (\mBbbN{}  \mcup{}  (\mBbbN{}  \mtimes{}  \mBbbN{})))  BY
              (D  0
                THENL  [(Unhide
                                THEN  (D  -4  With  \mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
                                THEN  ExRepD
                                THEN  ((D  -2  With  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  MoveToConcl  (-1))
                                THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}M  n  f\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                                THEN  (D  0  THENW  (D  -2  THEN  All    Reduce  THEN  Auto))
                                THEN  ((D  -3
                                              THEN  All  Reduce
                                              THEN  ((Fold  `member`  0  THEN  Auto)
                                              ORELSE  (Unfold  `int?`  0  THEN  (CallByValueReduce  0  THENA  Auto))
                                              ))
                                            THENL  [(Reduce  0
                                                            THEN  ((Fold  `member`  0  THEN  Auto)
                                                                      ORELSE  ((MemCD  THENA  Auto)  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto)
                                                                      )
                                                            )
                                                        ;  (DVar  `a1'  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)]
                                ))
                            ;  Auto]
              ))

---

Home Index