---

Step * 1 1 1 3 of Lemma howard-bar-rec_wf


1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ@i'
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ@i'
3. bar : ∀s:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. B[n;s])@i
4. mon : ∀n:ℕ. ∀m:ℕn. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[m;s] ⇒ B[n;s])@i
5. base : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ Q[n;s])@i
6. ind : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])@i
7. M : n:ℕ ⟶ s:(ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (k:ℕn × B[k;ext2Baire(n;s;0)]?)
8. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       ∃p:B[k;ext2Baire(n;f;0)]
        (((M n f) = (inl <k, p>) ∈ (k:ℕn × B[k;ext2Baire(n;f;0)]?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
9. n : ℕ
10. s : ℕn ⟶ ℕ
11. w : ∀m:ℕ. (howard-bar-rec(M;mon;base;ind;n + 1;λx.if x=n then m else (s x)) ∈ Q[n + 1;λx.if x=n then m else (s x)])
⊢ howard-bar-rec(M;mon;base;ind;n;s) ∈ Q[n;s]
BY
{ (RecUnfold `howard-bar-rec` 0
   THEN (GenConclTerm ⌜M n s⌝⋅ THENA Auto)
   THEN DVar `v'
   THEN Try (DVar `x')
   THEN Reduce 0) }

1
1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ@i'
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ@i'
3. bar : ∀s:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. B[n;s])@i
4. mon : ∀n:ℕ. ∀m:ℕn. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[m;s] ⇒ B[n;s])@i
5. base : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ Q[n;s])@i
6. ind : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])@i
7. M : n:ℕ ⟶ s:(ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (k:ℕn × B[k;ext2Baire(n;s;0)]?)
8. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       ∃p:B[k;ext2Baire(n;f;0)]
        (((M n f) = (inl <k, p>) ∈ (k:ℕn × B[k;ext2Baire(n;f;0)]?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
9. n : ℕ
10. s : ℕn ⟶ ℕ
11. w : ∀m:ℕ. (howard-bar-rec(M;mon;base;ind;n + 1;λx.if x=n then m else (s x)) ∈ Q[n + 1;λx.if x=n then m else (s x)])
12. k : ℕn
13. x1 : B[k;ext2Baire(n;s;0)]
14. (M n s) = (inl <k, x1>) ∈ (k:ℕn × B[k;ext2Baire(n;s;0)]?)
⊢ base n s (mon n k s x1) ∈ Q[n;s]

2
1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ@i'
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ@i'
3. bar : ∀s:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. B[n;s])@i
4. mon : ∀n:ℕ. ∀m:ℕn. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[m;s] ⇒ B[n;s])@i
5. base : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ Q[n;s])@i
6. ind : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])@i
7. M : n:ℕ ⟶ s:(ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (k:ℕn × B[k;ext2Baire(n;s;0)]?)
8. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       ∃p:B[k;ext2Baire(n;f;0)]
        (((M n f) = (inl <k, p>) ∈ (k:ℕn × B[k;ext2Baire(n;f;0)]?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
9. n : ℕ
10. s : ℕn ⟶ ℕ
11. w : ∀m:ℕ. (howard-bar-rec(M;mon;base;ind;n + 1;λx.if x=n then m else (s x)) ∈ Q[n + 1;λx.if x=n then m else (s x)])
12. y : Unit
13. (M n s) = (inr y ) ∈ (k:ℕn × B[k;ext2Baire(n;s;0)]?)
⊢ ind n s (λt.howard-bar-rec(M;mon;base;ind;n + 1;s.t@n)) ∈ Q[n;s]

---

Latex:

---

Latex:

1.  B  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
2.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
3.  bar  :  \mforall{}s:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  B[n;s])@i
4.  mon  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\mBbbN{}n.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[m;s]  {}\mRightarrow{}  B[n;s])@i
5.  base  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  Q[n;s])@i
6.  ind  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  Q[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  Q[n;s])@i
7.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  s:(\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (k:\mBbbN{}n  \mtimes{}  B[k;ext2Baire(n;s;0)]?)
8.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          \mexists{}n:\mBbbN{}
            \mexists{}k:\mBbbN{}n.  \mexists{}p:B[k;ext2Baire(n;f;0)].  (((M  n  f)  =  (inl  <k,  p>))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))\000C))
9.  n  :  \mBbbN{}
10.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
11.  w  :  \mforall{}m:\mBbbN{}
                    (howard-bar-rec(M;mon;base;ind;n  +  1;\mlambda{}x.if  x=n  then  m  else  (s  x))  \mmember{}  Q[n  +  1;\mlambda{}x.if  x=n
                                                                                                                                                                                  then  m
                                                                                                                                                                                  else  (s 
                                                                                                                                                                                              x)])
\mvdash{}  howard-bar-rec(M;mon;base;ind;n;s)  \mmember{}  Q[n;s]


By

---

Latex:
(RecUnfold  `howard-bar-rec`  0
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}M  n  s\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  DVar  `v'
  THEN  Try  (DVar  `x')
  THEN  Reduce  0)

---

Home Index