---

Step * 1 2 1 of Lemma monotone-bar-induction-strict2


1. B : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ B[n + 1;s.m@n])))
4. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .  (B[n;s] ⇒ ⇃(Q[n;s]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     ((∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ ⇃(Q[n + 1;s.m@n]))) ⇒ ⇃(Q[n;s]))
6. ∀alpha:StrictInc. ∃m:ℕ. B[m;alpha]
7. n : ℕ
8. s : ℕn ⟶ ℕ
9. strictly-increasing-seq(n;s) ⇒ B[n;s]
10. strictly-increasing-seq(n;s)
⊢ ⇃(strictly-increasing-seq(n;s) ⇒ Q[n;s])
BY
{ (ThinTrivial THEN InstHyp [⌜n⌝;⌜s⌝] 4⋅ THEN Auto) }

1
1. B : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ B[n + 1;s.m@n])))
4. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .  (B[n;s] ⇒ ⇃(Q[n;s]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     ((∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ ⇃(Q[n + 1;s.m@n]))) ⇒ ⇃(Q[n;s]))
6. ∀alpha:StrictInc. ∃m:ℕ. B[m;alpha]
7. n : ℕ
8. s : ℕn ⟶ ℕ
9. strictly-increasing-seq(n;s)
10. B[n;s]
11. ⇃(Q[n;s])
⊢ ⇃(strictly-increasing-seq(n;s) ⇒ Q[n;s])

---

Latex:

---

Latex:

1.  B  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}  .
          (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  (strictly-increasing-seq(n  +  1;s.m@n)  {}\mRightarrow{}  B[n  +  1;s.m@n])))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}  .    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s]))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}  .
          ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  (strictly-increasing-seq(n  +  1;s.m@n)  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n  +  1;s.m@n])))  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s]))
6.  \mforall{}alpha:StrictInc.  \mexists{}m:\mBbbN{}.  B[m;alpha]
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
9.  strictly-increasing-seq(n;s)  {}\mRightarrow{}  B[n;s]
10.  strictly-increasing-seq(n;s)
\mvdash{}  \00D9(strictly-increasing-seq(n;s)  {}\mRightarrow{}  Q[n;s])


By

---

Latex:
(ThinTrivial  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}]  4\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index