---

Step * 1 2 1 2 1 of Lemma strong-continuity-implies3


1. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
2. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
3. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ)))))
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
5. f : ℕ ⟶ ℕ
6. n : ℕ
7. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
8. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))
⊢ ∃n:ℕ
   ((case d n f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))
   ∧ (∀m:ℕ
        ((↑isl(case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅ ))
        ⇒ (case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)))))
BY
{ (With ⌜imax(n;F f) + 1⌝ (D 0)⋅ THENA Auto) }

1
1. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
2. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
3. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ)))))
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
5. f : ℕ ⟶ ℕ
6. n : ℕ
7. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
8. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))
⊢ (case d (imax(n;F f) + 1) f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))
∧ (∀m:ℕ
     ((↑isl(case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅ ))
     ⇒ (case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
3.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (F  f)))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n)))))
4.  d  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    Dec(\mexists{}i:\mBbbN{}n.  ((\muparrow{}isl(M  i  s))  \mwedge{}  outl(M  i  s)  <  n))
5.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))
8.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}
      ((case  d  n  f  of  inl(t)  =>  M  (fst(t))  f  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}    =  (inl  (F  f)))
      \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}
                ((\muparrow{}isl(case  d  m  f  of  inl(t)  =>  M  (fst(t))  f  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}  ))
                {}\mRightarrow{}  (case  d  m  f  of  inl(t)  =>  M  (fst(t))  f  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}    =  (inl  (F  f))))))


By

---

Latex:
(With  \mkleeneopen{}imax(n;F  f)  +  1\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index