---

Step * 1 1 1 of Lemma equipollent-subtract


1. a : ℕ
2. b : ℕ
3. [P] : ℕa ⟶ ℙ
4. {x:ℕa| P[x]}  ~ ℕb
5. f : ℕb ⟶ {x:ℕa| P[x]} 
6. Bij(ℕb;{x:ℕa| P[x]} ;f)
7. ∀x:ℕa. Dec(∃y:ℕb. ((f y) = x ∈ ℤ))
⊢ ∃tst:ℕa ⟶ 𝔹. ∀x:ℕa. (↓P[x] ⇐⇒ ↑(tst x))
BY
{ xxx(RepUR ``all decidable or`` -1 THEN RenameVar `g' (-1))xxx }

1
1. a : ℕ
2. b : ℕ
3. [P] : ℕa ⟶ ℙ
4. {x:ℕa| P[x]}  ~ ℕb
5. f : ℕb ⟶ {x:ℕa| P[x]} 
6. Bij(ℕb;{x:ℕa| P[x]} ;f)
7. g : x:ℕa ⟶ (∃y:ℕb. ((f y) = x ∈ ℤ) + (¬(∃y:ℕb. ((f y) = x ∈ ℤ))))
⊢ ∃tst:ℕa ⟶ 𝔹. ∀x:ℕa. (↓P[x] ⇐⇒ ↑(tst x))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}
2.  b  :  \mBbbN{}
3.  [P]  :  \mBbbN{}a  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  \{x:\mBbbN{}a|  P[x]\}    \msim{}  \mBbbN{}b
5.  f  :  \mBbbN{}b  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbN{}a|  P[x]\} 
6.  Bij(\mBbbN{}b;\{x:\mBbbN{}a|  P[x]\}  ;f)
7.  \mforall{}x:\mBbbN{}a.  Dec(\mexists{}y:\mBbbN{}b.  ((f  y)  =  x))
\mvdash{}  \mexists{}tst:\mBbbN{}a  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mforall{}x:\mBbbN{}a.  (\mdownarrow{}P[x]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \muparrow{}(tst  x))


By

---

Latex:
xxx(RepUR  ``all  decidable  or``  -1  THEN  RenameVar  `g'  (-1))xxx

---

Home Index