---

Step * 1 2 of Lemma product_functionality_wrt_equipollent_dependent


1. [A] : Type
2. [B] : Type
3. [C] : A ⟶ Type
4. [D] : B ⟶ Type
5. f : A ⟶ B
6. Bij(A;B;f)
7. ∀a:A. ∃f@0:C[a] ⟶ D[f a]. Bij(C[a];D[f a];f@0)
8. g : a:A ⟶ C[a] ⟶ D[f a]
9. ∀a:A. Bij(C[a];D[f a];g a)
10. b : b:B × D[b]
⊢ ∃a:a:A × C[a]. (let a,c = a in <f a, g a c> = b ∈ (b:B × D[b]))
BY
{ ((D -1 THEN (Assert ∃a:A. ((f a) = b1 ∈ B) BY BackThruSomeHyp'))
   THEN D -1
   THEN TACTIC:((Assert ∃c:C[a]. ((g a c) = b2 ∈ D[f a]) BY BackThruSomeHyp') THEN D -1)) }

1
1. [A] : Type
2. [B] : Type
3. [C] : A ⟶ Type
4. [D] : B ⟶ Type
5. f : A ⟶ B
6. Bij(A;B;f)
7. ∀a:A. ∃f@0:C[a] ⟶ D[f a]. Bij(C[a];D[f a];f@0)
8. g : a:A ⟶ C[a] ⟶ D[f a]
9. ∀a:A. Bij(C[a];D[f a];g a)
10. b1 : B
11. b2 : D[b1]
12. a : A
13. (f a) = b1 ∈ B
14. c : C[a]
15. (g a c) = b2 ∈ D[f a]
⊢ ∃a:a:A × C[a]. (let a,c = a in <f a, g a c> = <b1, b2> ∈ (b:B × D[b]))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [B]  :  Type
3.  [C]  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
4.  [D]  :  B  {}\mrightarrow{}  Type
5.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  B
6.  Bij(A;B;f)
7.  \mforall{}a:A.  \mexists{}f@0:C[a]  {}\mrightarrow{}  D[f  a].  Bij(C[a];D[f  a];f@0)
8.  g  :  a:A  {}\mrightarrow{}  C[a]  {}\mrightarrow{}  D[f  a]
9.  \mforall{}a:A.  Bij(C[a];D[f  a];g  a)
10.  b  :  b:B  \mtimes{}  D[b]
\mvdash{}  \mexists{}a:a:A  \mtimes{}  C[a].  (let  a,c  =  a  in  <f  a,  g  a  c>  =  b)


By

---

Latex:
((D  -1  THEN  (Assert  \mexists{}a:A.  ((f  a)  =  b1)  BY  BackThruSomeHyp'))
  THEN  D  -1
  THEN  TACTIC:((Assert  \mexists{}c:C[a].  ((g  a  c)  =  b2)  BY  BackThruSomeHyp')  THEN  D  -1))

---

Home Index