---

Step * 1 of Lemma Coquand-fan-theorem


1. [T] : Type
2. finite-type(T)
3. x : 0 = 0 ∈ ℤ
4. f : Void ⟶ W(𝔹;a.if a then Void else T fi )
5. ∀b:Void. ∀A:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ.
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((A n s) ⇒ (∀m:{n...}. ∀t:ℕm ⟶ T.  ((t = s ∈ (ℕn ⟶ T)) ⇒ (A m t)))))
     ⇒ (f b|A)
     ⇒ (∃N:ℕ. ∀m:{N...}. ∀as:ℕm ⟶ T.  (A m as)))
6. A : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
7. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((A n s) ⇒ (∀m:{n...}. ∀t:ℕm ⟶ T.  ((t = s ∈ (ℕn ⟶ T)) ⇒ (A m t))))
8. A 0 (λx.x)
⊢ ∃N:ℕ. ∀m:{N...}. ∀as:ℕm ⟶ T.  (A m as)
BY
{ ((With ⌜0⌝ (D 0)⋅ THEN Auto)⋅ THEN InstHyp [⌜0⌝;⌜as⌝] (-4)⋅ THEN Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. [T] : Type
2. finite-type(T)
3. x : 0 = 0 ∈ ℤ
4. f : Void ⟶ W(𝔹;a.if a then Void else T fi )
5. ∀b:Void. ∀A:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ.
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((A n s) ⇒ (∀m:{n...}. ∀t:ℕm ⟶ T.  ((t = s ∈ (ℕn ⟶ T)) ⇒ (A m t)))))
     ⇒ (f b|A)
     ⇒ (∃N:ℕ. ∀m:{N...}. ∀as:ℕm ⟶ T.  (A m as)))
6. A : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
7. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((A n s) ⇒ (∀m:{n...}. ∀t:ℕm ⟶ T.  ((t = s ∈ (ℕn ⟶ T)) ⇒ (A m t))))
8. A 0 (λx.x)
9. m : {0...}
10. as : ℕm ⟶ T
⊢ A 0 as

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  finite-type(T)
3.  x  :  0  =  0
4.  f  :  Void  {}\mrightarrow{}  W(\mBbbB{};a.if  a  then  Void  else  T  fi  )
5.  \mforall{}b:Void.  \mforall{}A:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.
          ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    ((A  n  s)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\{n...\}.  \mforall{}t:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  T.    ((t  =  s)  {}\mRightarrow{}  (A  m  t)))))
          {}\mRightarrow{}  (f  b|A)
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{N...\}.  \mforall{}as:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  T.    (A  m  as)))
6.  A  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    ((A  n  s)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\{n...\}.  \mforall{}t:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  T.    ((t  =  s)  {}\mRightarrow{}  (A  m  t))))
8.  A  0  (\mlambda{}x.x)
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{N...\}.  \mforall{}as:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  T.    (A  m  as)


By

---

Latex:
((With  \mkleeneopen{}0\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)\mcdot{}  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}as\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index