---

Step * 3 of Lemma Veldman-Coquand


1. X : Type
2. n : ℤ
3. [%1] : 0 < n
4. ∀p,q:wfd-tree(X).
     ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n - 1-aryRel(X)].
       (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));p)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));q)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n - 1;p;q)))
⊢ ∀q:wfd-tree(X)
    ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n-aryRel(X)].
      (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));Wsup(tt;⋅))
      ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));q)
      ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n;Wsup(tt;⋅);q)))
BY
{ TACTIC:(BLemma `wfd-tree-induction` THENA (Auto THEN Unfold `wfd-tree` 0 THEN MemCD THEN Reduce 0 THEN Auto)) }

1
1. X : Type
2. n : ℤ
3. [%1] : 0 < n
4. ∀p,q:wfd-tree(X).
     ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n - 1-aryRel(X)].
       (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));p)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));q)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n - 1;p;q)))
⊢ ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n-aryRel(X)].
    (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));Wsup(tt;⋅))
    ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));Wsup(tt;⋅))
    ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n;Wsup(tt;⋅);Wsup(tt;⋅))))

2
1. X : Type
2. n : ℤ
3. [%1] : 0 < n
4. ∀p,q:wfd-tree(X).
     ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n - 1-aryRel(X)].
       (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));p)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));q)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n - 1;p;q)))
⊢ ∀f:X ⟶ wfd-tree(X)
    ((∀b:X
        ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n-aryRel(X)].
          (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));Wsup(tt;⋅))
          ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));f b)
          ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n;Wsup(tt;⋅);f b))))
    ⇒ (∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n-aryRel(X)].
          (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));Wsup(tt;⋅))
          ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));Wsup(ff;f))
          ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s))
                                 ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n;Wsup(tt;⋅);Wsup(ff;f))))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  [\%1]  :  0  <  n
4.  \mforall{}p,q:wfd-tree(X).
          \mforall{}[A,B:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  X)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  \mforall{}[R,S:n  -  1-aryRel(X)].
              (tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  ((A  m  s)  \mvee{}  ([[R]]  m  s));p)
              {}\mRightarrow{}  tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  ((B  m  s)  \mvee{}  ([[S]]  m  s));q)
              {}\mRightarrow{}  tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  (((A  m  s)  \mvee{}  (B  m  s))  \mvee{}  (([[R]]  m  s)  \mwedge{}  ([[S]]  m  s)));tree-tensor(n 
                    -  1;p;q)))
\mvdash{}  \mforall{}q:wfd-tree(X)
        \mforall{}[A,B:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  X)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  \mforall{}[R,S:n-aryRel(X)].
            (tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  ((A  m  s)  \mvee{}  ([[R]]  m  s));Wsup(tt;\mcdot{}))
            {}\mRightarrow{}  tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  ((B  m  s)  \mvee{}  ([[S]]  m  s));q)
            {}\mRightarrow{}  tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  (((A  m  s)  \mvee{}  (B  m  s))
                                                          \mvee{}  (([[R]]  m  s)  \mwedge{}  ([[S]]  m  s)));tree-tensor(n;Wsup(tt;\mcdot{});q)))


By

---

Latex:
TACTIC:(BLemma  `wfd-tree-induction`
                THENA  (Auto  THEN  Unfold  `wfd-tree`  0  THEN  MemCD  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)
                )

---

Home Index