---

Step * 4 of Lemma Veldman-Coquand


1. X : Type
2. n : ℤ
3. [%1] : 0 < n
4. ∀p,q:wfd-tree(X).
     ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n - 1-aryRel(X)].
       (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));p)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));q)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n - 1;p;q)))
⊢ ∀f:X ⟶ wfd-tree(X)
    ((∀b:X. ∀q:wfd-tree(X).
        ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n-aryRel(X)].
          (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));f b)
          ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));q)
          ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n;f b;q))))
    ⇒ (∀q:wfd-tree(X)
          ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n-aryRel(X)].
            (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));Wsup(ff;f))
            ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));q)
            ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n;Wsup(ff;f);q)))))
BY
{ TACTIC:(RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto))
          THEN (BLemma `wfd-tree-induction` THENA (Auto THEN Unfold `wfd-tree` 0 THEN MemCD THEN Reduce 0 THEN Auto))
          ) }

1
1. X : Type
2. n : ℤ
3. [%1] : 0 < n
4. ∀p,q:wfd-tree(X).
     ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n - 1-aryRel(X)].
       (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));p)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));q)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n - 1;p;q)))
5. f : X ⟶ wfd-tree(X)
6. ∀b:X. ∀q:wfd-tree(X).
     ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n-aryRel(X)].
       (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));f b)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));q)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n;f b;q)))
⊢ ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n-aryRel(X)].
    (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));Wsup(ff;f))
    ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));Wsup(tt;⋅))
    ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n;Wsup(ff;f);Wsup(tt;⋅))))

2
1. X : Type
2. n : ℤ
3. [%1] : 0 < n
4. ∀p,q:wfd-tree(X).
     ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n - 1-aryRel(X)].
       (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));p)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));q)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n - 1;p;q)))
5. f : X ⟶ wfd-tree(X)
6. ∀b:X. ∀q:wfd-tree(X).
     ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n-aryRel(X)].
       (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));f b)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));q)
       ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n;f b;q)))
⊢ ∀f1:X ⟶ wfd-tree(X)
    ((∀b:X
        ∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n-aryRel(X)].
          (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));Wsup(ff;f))
          ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));f1 b)
          ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s)) ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n;Wsup(ff;f);f1 b))))
    ⇒ (∀[A,B:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ X) ⟶ ℙ]. ∀[R,S:n-aryRel(X)].
          (tree-secures(X;λm,s. ((A m s) ∨ ([[R]] m s));Wsup(ff;f))
          ⇒ tree-secures(X;λm,s. ((B m s) ∨ ([[S]] m s));Wsup(ff;f1))
          ⇒ tree-secures(X;λm,s. (((A m s) ∨ (B m s))
                                 ∨ (([[R]] m s) ∧ ([[S]] m s)));tree-tensor(n;Wsup(ff;f);Wsup(ff;f1))))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  [\%1]  :  0  <  n
4.  \mforall{}p,q:wfd-tree(X).
          \mforall{}[A,B:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  X)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  \mforall{}[R,S:n  -  1-aryRel(X)].
              (tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  ((A  m  s)  \mvee{}  ([[R]]  m  s));p)
              {}\mRightarrow{}  tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  ((B  m  s)  \mvee{}  ([[S]]  m  s));q)
              {}\mRightarrow{}  tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  (((A  m  s)  \mvee{}  (B  m  s))  \mvee{}  (([[R]]  m  s)  \mwedge{}  ([[S]]  m  s)));tree-tensor(n 
                    -  1;p;q)))
\mvdash{}  \mforall{}f:X  {}\mrightarrow{}  wfd-tree(X)
        ((\mforall{}b:X.  \mforall{}q:wfd-tree(X).
                \mforall{}[A,B:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  X)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  \mforall{}[R,S:n-aryRel(X)].
                    (tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  ((A  m  s)  \mvee{}  ([[R]]  m  s));f  b)
                    {}\mRightarrow{}  tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  ((B  m  s)  \mvee{}  ([[S]]  m  s));q)
                    {}\mRightarrow{}  tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  (((A  m  s)  \mvee{}  (B  m  s))
                                                                  \mvee{}  (([[R]]  m  s)  \mwedge{}  ([[S]]  m  s)));tree-tensor(n;f  b;q))))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}q:wfd-tree(X)
                    \mforall{}[A,B:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  X)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  \mforall{}[R,S:n-aryRel(X)].
                        (tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  ((A  m  s)  \mvee{}  ([[R]]  m  s));Wsup(ff;f))
                        {}\mRightarrow{}  tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  ((B  m  s)  \mvee{}  ([[S]]  m  s));q)
                        {}\mRightarrow{}  tree-secures(X;\mlambda{}m,s.  (((A  m  s)  \mvee{}  (B  m  s))
                                                                      \mvee{}  (([[R]]  m  s)  \mwedge{}  ([[S]]  m  s)));tree-tensor(n;Wsup(ff;f);q)))))


By

---

Latex:
TACTIC:(RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto))
                THEN  (BLemma  `wfd-tree-induction`
                            THENA  (Auto  THEN  Unfold  `wfd-tree`  0  THEN  MemCD  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)
                            )
                )

---

Home Index