---

Step * 1 1 2 2 1 of Lemma fan-implies-nwkl!-using-PFan


1. Fan
2. t : (𝔹 List) ⟶ ℙ
3. ∀as:𝔹 List. Dec(t as)
4. infinite-tree(t)
5. ∀g,h:ℕ ⟶ 𝔹. ∀n:ℕ.  ((¬g n = h n) ⇒ (∃m:ℕ. (¬((t map(g;upto(m))) ∧ (t map(h;upto(m)))))))
6. ∀n:ℕ. ∀ss:((𝔹 × 𝔹) List) ⟶ ℙ.
     ((∀bc:(𝔹 × 𝔹) List. Dec(ss bc))
     ⇒ (∀bc,bc':(𝔹 × 𝔹) List.  (bc ≤ bc' ⇒ (ss bc) ⇒ (ss bc')))
     ⇒ (∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
           ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List)))
           ⇒ (∃m:ℕ. (ss map(gh;upto(m))))))
     ⇒ (∃k:ℕ
          ∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
            ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List))) ⇒ (ss map(gh;upto(k))))))
7. n : ℕ
8. ∀ss:((𝔹 × 𝔹) List) ⟶ ℙ
     ((∀bc:(𝔹 × 𝔹) List. Dec(ss bc))
     ⇒ (∀bc,bc':(𝔹 × 𝔹) List.  (bc ≤ bc' ⇒ (ss bc) ⇒ (ss bc')))
     ⇒ (∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
           ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List)))
           ⇒ (∃m:ℕ. (ss map(gh;upto(m))))))
     ⇒ (∃k:ℕ
          ∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
            ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List))) ⇒ (ss map(gh;upto(k))))))
9. gh : ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
10. ¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List))
11. i : ℕn
12. ¬fst((gh i)) = snd((gh i))
13. ∃m:ℕ. (¬((t map(λi.(fst((gh i)));upto(m))) ∧ (t map(λi.(snd((gh i)));upto(m)))))
⊢ ∃m:ℕ. (¬((t map(λp.(fst(p));map(gh;upto(m)))) ∧ (t map(λp.(snd(p));map(gh;upto(m))))))
BY
{ RepeatFor 2 (ParallelLast) }

1
1. Fan
2. t : (𝔹 List) ⟶ ℙ
3. ∀as:𝔹 List. Dec(t as)
4. infinite-tree(t)
5. ∀g,h:ℕ ⟶ 𝔹. ∀n:ℕ.  ((¬g n = h n) ⇒ (∃m:ℕ. (¬((t map(g;upto(m))) ∧ (t map(h;upto(m)))))))
6. ∀n:ℕ. ∀ss:((𝔹 × 𝔹) List) ⟶ ℙ.
     ((∀bc:(𝔹 × 𝔹) List. Dec(ss bc))
     ⇒ (∀bc,bc':(𝔹 × 𝔹) List.  (bc ≤ bc' ⇒ (ss bc) ⇒ (ss bc')))
     ⇒ (∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
           ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List)))
           ⇒ (∃m:ℕ. (ss map(gh;upto(m))))))
     ⇒ (∃k:ℕ
          ∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
            ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List))) ⇒ (ss map(gh;upto(k))))))
7. n : ℕ
8. ∀ss:((𝔹 × 𝔹) List) ⟶ ℙ
     ((∀bc:(𝔹 × 𝔹) List. Dec(ss bc))
     ⇒ (∀bc,bc':(𝔹 × 𝔹) List.  (bc ≤ bc' ⇒ (ss bc) ⇒ (ss bc')))
     ⇒ (∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
           ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List)))
           ⇒ (∃m:ℕ. (ss map(gh;upto(m))))))
     ⇒ (∃k:ℕ
          ∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
            ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List))) ⇒ (ss map(gh;upto(k))))))
9. gh : ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
10. ¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List))
11. i : ℕn
12. ¬fst((gh i)) = snd((gh i))
13. m : ℕ
14. (t map(λp.(fst(p));map(gh;upto(m)))) ∧ (t map(λp.(snd(p));map(gh;upto(m))))
⊢ (t map(λi.(fst((gh i)));upto(m))) ∧ (t map(λi.(snd((gh i)));upto(m)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Fan
2.  t  :  (\mBbbB{}  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}as:\mBbbB{}  List.  Dec(t  as)
4.  infinite-tree(t)
5.  \mforall{}g,h:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}.    ((\mneg{}g  n  =  h  n)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}m:\mBbbN{}.  (\mneg{}((t  map(g;upto(m)))  \mwedge{}  (t  map(h;upto(m)))))))
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}ss:((\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.
          ((\mforall{}bc:(\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List.  Dec(ss  bc))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}bc,bc':(\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List.    (bc  \mleq{}  bc'  {}\mRightarrow{}  (ss  bc)  {}\mRightarrow{}  (ss  bc')))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}gh:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})
                      ((\mneg{}(map(\mlambda{}i.(fst((gh  i)));upto(n))  =  map(\mlambda{}i.(snd((gh  i)));upto(n))))
                      {}\mRightarrow{}  (\mexists{}m:\mBbbN{}.  (ss  map(gh;upto(m))))))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}k:\mBbbN{}
                    \mforall{}gh:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})
                        ((\mneg{}(map(\mlambda{}i.(fst((gh  i)));upto(n))  =  map(\mlambda{}i.(snd((gh  i)));upto(n))))
                        {}\mRightarrow{}  (ss  map(gh;upto(k))))))
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}ss:((\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
          ((\mforall{}bc:(\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List.  Dec(ss  bc))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}bc,bc':(\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List.    (bc  \mleq{}  bc'  {}\mRightarrow{}  (ss  bc)  {}\mRightarrow{}  (ss  bc')))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}gh:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})
                      ((\mneg{}(map(\mlambda{}i.(fst((gh  i)));upto(n))  =  map(\mlambda{}i.(snd((gh  i)));upto(n))))
                      {}\mRightarrow{}  (\mexists{}m:\mBbbN{}.  (ss  map(gh;upto(m))))))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}k:\mBbbN{}
                    \mforall{}gh:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})
                        ((\mneg{}(map(\mlambda{}i.(fst((gh  i)));upto(n))  =  map(\mlambda{}i.(snd((gh  i)));upto(n))))
                        {}\mRightarrow{}  (ss  map(gh;upto(k))))))
9.  gh  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})
10.  \mneg{}(map(\mlambda{}i.(fst((gh  i)));upto(n))  =  map(\mlambda{}i.(snd((gh  i)));upto(n)))
11.  i  :  \mBbbN{}n
12.  \mneg{}fst((gh  i))  =  snd((gh  i))
13.  \mexists{}m:\mBbbN{}.  (\mneg{}((t  map(\mlambda{}i.(fst((gh  i)));upto(m)))  \mwedge{}  (t  map(\mlambda{}i.(snd((gh  i)));upto(m)))))
\mvdash{}  \mexists{}m:\mBbbN{}.  (\mneg{}((t  map(\mlambda{}p.(fst(p));map(gh;upto(m))))  \mwedge{}  (t  map(\mlambda{}p.(snd(p));map(gh;upto(m))))))


By

---

Latex:
RepeatFor  2  (ParallelLast)

---

Home Index