---

Step * 3 1 of Lemma fset-ac-glb-is-glb


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. ac1 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. ac2 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;ac1;ac2);ac2)
6. ac3 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (¬({y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
8. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (¬({y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
⊢ fset-ac-le(eq;ac3;f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2)))
BY
{ (Unfolds ``fset-ac-le`` 0
   THEN (InstLemma `fset-all-iff` [⌜fset(T)⌝;⌜deq-fset(eq)⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN RWO "-1" 0
   THEN Auto
   THEN Thin (-3)
   THEN (RWO "assert-fset-null" 0 THENA Auto)
   THEN (D 0 THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. ac1 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. ac2 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;ac1;ac2);ac2)
6. ac3 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (¬({y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
8. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (¬({y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. x : fset(T)
10. x ∈ ac3
11. {y ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2)) | deq-f-subset(eq) y x} = {} ∈ fset(fset(T))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  ac1  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
4.  ac2  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
5.  fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;ac1;ac2);ac2)
6.  ac3  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
7.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac3  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  ac1  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}  =  \{\})))
8.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac3  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  ac2  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}  =  \{\})))
\mvdash{}  fset-ac-le(eq;ac3;f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(ac2)))


By

---

Latex:
(Unfolds  ``fset-ac-le``  0
  THEN  (InstLemma  `fset-all-iff`  [\mkleeneopen{}fset(T)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}deq-fset(eq)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RWO  "-1"  0
  THEN  Auto
  THEN  Thin  (-3)
  THEN  (RWO  "assert-fset-null"  0  THENA  Auto)
  THEN  (D  0  THENA  Auto))

---

Home Index