---

Step * 1 1 of Lemma dependent-choice


1. [T] : ℕ ⟶ Type
2. [R] : n:ℕ ⟶ T[n] ⟶ T[n + 1] ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀x:T[n].  ∃y:T[n + 1]. R[n;x;y]
4. x0 : T[0]
5. F : n:ℕ ⟶ x:T[n] ⟶ T[n + 1]
6. ∀n:ℕ. ∀x:T[n].  R[n;x;F n x]
7. ∀n:ℕ. (primrec(n;x0;λi,r. (F i r)) ∈ T[n])
⊢ ∃f:n:ℕ ⟶ T[n]. (((f 0) = x0 ∈ T[0]) ∧ (∀n:ℕ. R[n;f n;f (n + 1)]))
BY
{ ((D 0 With ⌜λn.primrec(n;x0;λi,r. (F i r))⌝  THENW Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN Auto
   THEN NatInd (-1)
   THEN Reduce 0
   THEN Auto) }

1
.....upcase..... 
1. [T] : ℕ ⟶ Type
2. [R] : n:ℕ ⟶ T[n] ⟶ T[n + 1] ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀x:T[n].  ∃y:T[n + 1]. R[n;x;y]
4. x0 : T[0]
5. F : n:ℕ ⟶ x:T[n] ⟶ T[n + 1]
6. ∀n:ℕ. ∀x:T[n].  R[n;x;F n x]
7. ∀n:ℕ. (primrec(n;x0;λi,r. (F i r)) ∈ T[n])
8. x0 = x0 ∈ T[0]
9. n : ℤ
10. [%6] : 0 < n
11. R[n - 1;primrec(n - 1;x0;λi,r. (F i r));primrec((n - 1) + 1;x0;λi,r. (F i r))]
⊢ R[n;primrec(n;x0;λi,r. (F i r));primrec(n + 1;x0;λi,r. (F i r))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  Type
2.  [R]  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T[n]  {}\mrightarrow{}  T[n  +  1]  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:T[n].    \mexists{}y:T[n  +  1].  R[n;x;y]
4.  x0  :  T[0]
5.  F  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  x:T[n]  {}\mrightarrow{}  T[n  +  1]
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:T[n].    R[n;x;F  n  x]
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (primrec(n;x0;\mlambda{}i,r.  (F  i  r))  \mmember{}  T[n])
\mvdash{}  \mexists{}f:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T[n].  (((f  0)  =  x0)  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  R[n;f  n;f  (n  +  1)]))


By

---

Latex:
((D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}n.primrec(n;x0;\mlambda{}i,r.  (F  i  r))\mkleeneclose{}    THENW  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto
  THEN  NatInd  (-1)
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto)

---

Home Index