---

Step * 1 1 1 of Lemma disjoint_increasing_onto


1. m : ℕ
2. n : ℕ
3. k : ℕ
4. f : ℕn ⟶ ℕm
5. g : ℕk ⟶ ℕm
6. increasing(f;n)
7. increasing(g;k)
8. ∀i:ℕm. ((∃j:ℕn. (i = (f j) ∈ ℤ)) ∨ (∃j:ℕk. (i = (g j) ∈ ℤ)))
9. ∀j1:ℕn. ∀j2:ℕk.  (¬((f j1) = (g j2) ∈ ℤ))
⊢ ∃f:ℕm ⟶ ℕn + k. Inj(ℕm;ℕn + k;f)
BY
{ (RenameVar `h' 8 THEN Unfolds ``all exists or`` 8) }

1
1. m : ℕ
2. n : ℕ
3. k : ℕ
4. f : ℕn ⟶ ℕm
5. g : ℕk ⟶ ℕm
6. increasing(f;n)
7. increasing(g;k)
8. h : i:ℕm ⟶ (j:ℕn × (i = (f j) ∈ ℤ) + (j:ℕk × (i = (g j) ∈ ℤ)))
9. ∀j1:ℕn. ∀j2:ℕk.  (¬((f j1) = (g j2) ∈ ℤ))
⊢ ∃f:ℕm ⟶ ℕn + k. Inj(ℕm;ℕn + k;f)

---

Latex:

---

Latex:

1.  m  :  \mBbbN{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  k  :  \mBbbN{}
4.  f  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m
5.  g  :  \mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m
6.  increasing(f;n)
7.  increasing(g;k)
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}m.  ((\mexists{}j:\mBbbN{}n.  (i  =  (f  j)))  \mvee{}  (\mexists{}j:\mBbbN{}k.  (i  =  (g  j))))
9.  \mforall{}j1:\mBbbN{}n.  \mforall{}j2:\mBbbN{}k.    (\mneg{}((f  j1)  =  (g  j2)))
\mvdash{}  \mexists{}f:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n  +  k.  Inj(\mBbbN{}m;\mBbbN{}n  +  k;f)


By

---

Latex:
(RenameVar  `h'  8  THEN  Unfolds  ``all  exists  or``  8)

---

Home Index