---

Step * 1 1 of Lemma funinv-unique


1. n : ℕ
2. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
3. g : ℕn ⟶ ℕn
4. (f o g) = (λx.x) ∈ (ℕn ⟶ ℕn)
5. inv(f) ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
6. Inj(ℕn;ℕn;inv(f))
7. ∀a1,a2:ℕn.  (((f a1) = (f a2) ∈ ℕn) ⇒ (a1 = a2 ∈ ℕn))
8. x : ℕn
⊢ (f (inv(f) x)) = (f (g x)) ∈ ℕn
BY
{ Subst ⌜f (g x) ~ (f o g) x⌝ 0⋅ }

1
.....equality..... 
1. n : ℕ
2. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
3. g : ℕn ⟶ ℕn
4. (f o g) = (λx.x) ∈ (ℕn ⟶ ℕn)
5. inv(f) ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
6. Inj(ℕn;ℕn;inv(f))
7. ∀a1,a2:ℕn.  (((f a1) = (f a2) ∈ ℕn) ⇒ (a1 = a2 ∈ ℕn))
8. x : ℕn
⊢ f (g x) ~ (f o g) x

2
1. n : ℕ
2. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
3. g : ℕn ⟶ ℕn
4. (f o g) = (λx.x) ∈ (ℕn ⟶ ℕn)
5. inv(f) ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
6. Inj(ℕn;ℕn;inv(f))
7. ∀a1,a2:ℕn.  (((f a1) = (f a2) ∈ ℕn) ⇒ (a1 = a2 ∈ ℕn))
8. x : ℕn
⊢ (f (inv(f) x)) = ((f o g) x) ∈ ℕn

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  f  :  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
3.  g  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n
4.  (f  o  g)  =  (\mlambda{}x.x)
5.  inv(f)  \mmember{}  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
6.  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;inv(f))
7.  \mforall{}a1,a2:\mBbbN{}n.    (((f  a1)  =  (f  a2))  {}\mRightarrow{}  (a1  =  a2))
8.  x  :  \mBbbN{}n
\mvdash{}  (f  (inv(f)  x))  =  (f  (g  x))


By

---

Latex:
Subst  \mkleeneopen{}f  (g  x)  \msim{}  (f  o  g)  x\mkleeneclose{}  0\mcdot{}

---

Home Index