---

Step * 3 1 of Lemma comparison-seq_wf


1. T : Type
2. c1 : T ⟶ T ⟶ ℤ
3. ∀x,y:T.  ((c1 x y) = (-(c1 y x)) ∈ ℤ)
4. ∀x,y:T.  (((c1 x y) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (∀z:T. ((c1 x z) = (c1 y z) ∈ ℤ)))
5. ∀x,y,z:T.  ((0 ≤ (c1 x y)) ⇒ (0 ≤ (c1 y z)) ⇒ (0 ≤ (c1 x z)))
6. c2 : ⋂a:T. comparison({b:T| (c1 a b) = 0 ∈ ℤ} )
7. x : T
8. y : T
9. z : T
10. (c1 x x) = 0 ∈ ℤ
11. c2 ∈ comparison({b:T| (c1 x b) = 0 ∈ ℤ} )
12. 0 ≤ if c1 x y=0 then c2 x y else (c1 x y)
13. (c1 y y) = 0 ∈ ℤ
14. c2 ∈ comparison({b:T| (c1 y b) = 0 ∈ ℤ} )
15. 0 ≤ if c1 y z=0 then c2 y z else (c1 y z)
⊢ 0 ≤ if c1 x z=0 then c2 x z else (c1 x z)
BY
{ (Decide ⌜(c1 x y) = 0 ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. T : Type
2. c1 : T ⟶ T ⟶ ℤ
3. ∀x,y:T.  ((c1 x y) = (-(c1 y x)) ∈ ℤ)
4. ∀x,y:T.  (((c1 x y) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (∀z:T. ((c1 x z) = (c1 y z) ∈ ℤ)))
5. ∀x,y,z:T.  ((0 ≤ (c1 x y)) ⇒ (0 ≤ (c1 y z)) ⇒ (0 ≤ (c1 x z)))
6. c2 : ⋂a:T. comparison({b:T| (c1 a b) = 0 ∈ ℤ} )
7. x : T
8. y : T
9. z : T
10. (c1 x x) = 0 ∈ ℤ
11. c2 ∈ comparison({b:T| (c1 x b) = 0 ∈ ℤ} )
12. 0 ≤ if c1 x y=0 then c2 x y else (c1 x y)
13. (c1 y y) = 0 ∈ ℤ
14. c2 ∈ comparison({b:T| (c1 y b) = 0 ∈ ℤ} )
15. 0 ≤ if c1 y z=0 then c2 y z else (c1 y z)
16. (c1 x y) = 0 ∈ ℤ
⊢ 0 ≤ if c1 x z=0 then c2 x z else (c1 x z)

2
1. T : Type
2. c1 : T ⟶ T ⟶ ℤ
3. ∀x,y:T.  ((c1 x y) = (-(c1 y x)) ∈ ℤ)
4. ∀x,y:T.  (((c1 x y) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (∀z:T. ((c1 x z) = (c1 y z) ∈ ℤ)))
5. ∀x,y,z:T.  ((0 ≤ (c1 x y)) ⇒ (0 ≤ (c1 y z)) ⇒ (0 ≤ (c1 x z)))
6. c2 : ⋂a:T. comparison({b:T| (c1 a b) = 0 ∈ ℤ} )
7. x : T
8. y : T
9. z : T
10. (c1 x x) = 0 ∈ ℤ
11. c2 ∈ comparison({b:T| (c1 x b) = 0 ∈ ℤ} )
12. 0 ≤ if c1 x y=0 then c2 x y else (c1 x y)
13. (c1 y y) = 0 ∈ ℤ
14. c2 ∈ comparison({b:T| (c1 y b) = 0 ∈ ℤ} )
15. 0 ≤ if c1 y z=0 then c2 y z else (c1 y z)
16. ¬((c1 x y) = 0 ∈ ℤ)
⊢ 0 ≤ if c1 x z=0 then c2 x z else (c1 x z)

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  c1  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  \mforall{}x,y:T.    ((c1  x  y)  =  (-(c1  y  x)))
4.  \mforall{}x,y:T.    (((c1  x  y)  =  0)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}z:T.  ((c1  x  z)  =  (c1  y  z))))
5.  \mforall{}x,y,z:T.    ((0  \mleq{}  (c1  x  y))  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  (c1  y  z))  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  (c1  x  z)))
6.  c2  :  \mcap{}a:T.  comparison(\{b:T|  (c1  a  b)  =  0\}  )
7.  x  :  T
8.  y  :  T
9.  z  :  T
10.  (c1  x  x)  =  0
11.  c2  \mmember{}  comparison(\{b:T|  (c1  x  b)  =  0\}  )
12.  0  \mleq{}  if  c1  x  y=0  then  c2  x  y  else  (c1  x  y)
13.  (c1  y  y)  =  0
14.  c2  \mmember{}  comparison(\{b:T|  (c1  y  b)  =  0\}  )
15.  0  \mleq{}  if  c1  y  z=0  then  c2  y  z  else  (c1  y  z)
\mvdash{}  0  \mleq{}  if  c1  x  z=0  then  c2  x  z  else  (c1  x  z)


By

---

Latex:
(Decide  \mkleeneopen{}(c1  x  y)  =  0\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index