---

Step * 2 3 of Lemma insert-combine-sorted-by


1. T : Type
2. cmp : comparison(T)
3. ∀u,x,z:T.  (0 < cmp x u ⇒ 0 < cmp u z ⇒ 0 < cmp x z)
4. f : T ⟶ T ⟶ T
5. ∀u,x:T.  (((cmp x u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ ((cmp u (f x u)) = 0 ∈ ℤ))
6. u : T
7. v : T List
8. ∀x:T. (sorted-by(λx,y. 0 < cmp x y;v) ⇒ sorted-by(λx,y. 0 < cmp x y;insert-combine(cmp;f;x;v)))
9. x : T
10. ¬0 < cmp x u
11. cmp x u ≠ 0
12. sorted-by(λx,y. 0 < cmp x y;v)
13. (∀z∈v.0 < cmp u z)
14. sorted-by(λx,y. 0 < cmp x y;insert-combine(cmp;f;x;v))
⊢ (∀z∈insert-combine(cmp;f;x;v).0 < cmp u z)
BY
{ ((Assert 0 < cmp u x BY
          (D 2 THEN Auto THEN InstHyp [⌜x⌝;⌜u⌝] 3⋅ THEN Auto'))
   THEN All (RWO "l_all_iff")
   THEN Auto
   THEN (FLemma `member-insert-combine` [-1] THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. cmp : comparison(T)
3. ∀u,x,z:T.  (0 < cmp x u ⇒ 0 < cmp u z ⇒ 0 < cmp x z)
4. f : T ⟶ T ⟶ T
5. ∀u,x:T.  (((cmp x u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ ((cmp u (f x u)) = 0 ∈ ℤ))
6. u : T
7. v : T List
8. ∀x:T. (sorted-by(λx,y. 0 < cmp x y;v) ⇒ sorted-by(λx,y. 0 < cmp x y;insert-combine(cmp;f;x;v)))
9. x : T
10. ¬0 < cmp x u
11. cmp x u ≠ 0
12. sorted-by(λx,y. 0 < cmp x y;v)
13. ∀z:T. ((z ∈ v) ⇒ 0 < cmp u z)
14. sorted-by(λx,y. 0 < cmp x y;insert-combine(cmp;f;x;v))
15. 0 < cmp u x
16. z : T
17. (z ∈ insert-combine(cmp;f;x;v))
18. (z ∈ v) ∨ (z = x ∈ T) ∨ (∃y∈v. ((cmp x y) = 0 ∈ ℤ) ∧ (z = (f x y) ∈ T))
⊢ 0 < cmp u z

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  cmp  :  comparison(T)
3.  \mforall{}u,x,z:T.    (0  <  cmp  x  u  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  u  z  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  x  z)
4.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  T
5.  \mforall{}u,x:T.    (((cmp  x  u)  =  0)  {}\mRightarrow{}  ((cmp  u  (f  x  u))  =  0))
6.  u  :  T
7.  v  :  T  List
8.  \mforall{}x:T.  (sorted-by(\mlambda{}x,y.  0  <  cmp  x  y;v)  {}\mRightarrow{}  sorted-by(\mlambda{}x,y.  0  <  cmp  x  y;insert-combine(cmp;f;x;v)))
9.  x  :  T
10.  \mneg{}0  <  cmp  x  u
11.  cmp  x  u  \mneq{}  0
12.  sorted-by(\mlambda{}x,y.  0  <  cmp  x  y;v)
13.  (\mforall{}z\mmember{}v.0  <  cmp  u  z)
14.  sorted-by(\mlambda{}x,y.  0  <  cmp  x  y;insert-combine(cmp;f;x;v))
\mvdash{}  (\mforall{}z\mmember{}insert-combine(cmp;f;x;v).0  <  cmp  u  z)


By

---

Latex:
((Assert  0  <  cmp  u  x  BY
                (D  2  THEN  Auto  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}u\mkleeneclose{}]  3\mcdot{}  THEN  Auto'))
  THEN  All  (RWO  "l\_all\_iff")
  THEN  Auto
  THEN  (FLemma  `member-insert-combine`  [-1]  THENA  Auto))

---

Home Index