---

Step * 1 2 of Lemma triangular-num-add1


1. n : ℕ
2. ((n + 1) * ((n + 1) + 1)) = (((((n + 1) * ((n + 1) + 1)) ÷ 2) * 2) + 0) ∈ ℤ
3. (n * (n + 1)) = ((((n * (n + 1)) ÷ 2) * 2) + (n * (n + 1) rem 2)) ∈ ℤ
⊢ (((n + 1) * ((n + 1) + 1)) ÷ 2) = (((n * (n + 1)) ÷ 2) + n + 1) ∈ ℤ
BY
{ Subst ⌜n * (n + 1) rem 2 ~ 0⌝ (-1)⋅ }

1
.....equality..... 
1. n : ℕ
2. ((n + 1) * ((n + 1) + 1)) = (((((n + 1) * ((n + 1) + 1)) ÷ 2) * 2) + 0) ∈ ℤ
3. (n * (n + 1)) = ((((n * (n + 1)) ÷ 2) * 2) + (n * (n + 1) rem 2)) ∈ ℤ
⊢ n * (n + 1) rem 2 ~ 0

2
1. n : ℕ
2. ((n + 1) * ((n + 1) + 1)) = (((((n + 1) * ((n + 1) + 1)) ÷ 2) * 2) + 0) ∈ ℤ
3. (n * (n + 1)) = ((((n * (n + 1)) ÷ 2) * 2) + 0) ∈ ℤ
⊢ (((n + 1) * ((n + 1) + 1)) ÷ 2) = (((n * (n + 1)) ÷ 2) + n + 1) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  ((n  +  1)  *  ((n  +  1)  +  1))  =  (((((n  +  1)  *  ((n  +  1)  +  1))  \mdiv{}  2)  *  2)  +  0)
3.  (n  *  (n  +  1))  =  ((((n  *  (n  +  1))  \mdiv{}  2)  *  2)  +  (n  *  (n  +  1)  rem  2))
\mvdash{}  (((n  +  1)  *  ((n  +  1)  +  1))  \mdiv{}  2)  =  (((n  *  (n  +  1))  \mdiv{}  2)  +  n  +  1)


By

---

Latex:
Subst  \mkleeneopen{}n  *  (n  +  1)  rem  2  \msim{}  0\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}

---

Home Index