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Step * 1 1 of Lemma member-gcd-reduce-ineq-constraints


1. n : ℕ+
2. [%2] : ||[]|| = n ∈ ℤ
3. v : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
4. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List. ∀cc:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} .
     ((↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v))) ⇒ (cc ∈ sat) ⇒ (cc ∈ outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v))))
⊢ ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List. ∀cc:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} .
    ((↑isl(let s' ⟵ let h,t = [] 
                     in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [[] / sat])
                        otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                  if (1) < (g)
                                     then eval h' = h ÷↓ g in
                                          eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                            inl [[h' / t'] / sat]
                                     else (inl [[] / sat])
           in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                    in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [L / Ls])
                                       otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                                 if (1) < (g)
                                                    then eval h' = h ÷↓ g in
                                                         eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                                           inl [[h' / t'] / Ls]
                                                    else (inl [L / Ls]);s';v)))
    ⇒ (cc ∈ sat)
    ⇒ (cc ∈ outl(let s' ⟵ let h,t = [] 
                            in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [[] / sat])
                               otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                         if (1) < (g)
                                            then eval h' = h ÷↓ g in
                                                 eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                                   inl [[h' / t'] / sat]
                                            else (inl [[] / sat])
                  in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                           in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [L / Ls])
                                              otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                                        if (1) < (g)
                                                           then eval h' = h ÷↓ g in
                                                                eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                                                  inl [[h' / t'] / Ls]
                                                           else (inl [L / Ls]);s';v))))
BY
{ ((Assert ⌜False⌝⋅ THEN Auto) THEN Reduce 2 THEN Auto) }

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Latex:

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Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  [\%2]  :  ||[]||  =  n
3.  v  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
4.  \mforall{}sat:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List.  \mforall{}cc:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  .
          ((\muparrow{}isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)))
          {}\mRightarrow{}  (cc  \mmember{}  sat)
          {}\mRightarrow{}  (cc  \mmember{}  outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v))))
\mvdash{}  \mforall{}sat:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List.  \mforall{}cc:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  .
        ((\muparrow{}isl(let  s'  \mleftarrow{}{}  let  h,t  =  [] 
                                          in  if  t  =  Ax  then  if  (h)  <  (0)    then  inr  \mcdot{}      else  (inl  [[]  /  sat])
                                                otherwise  eval  g  =  |gcd-list(t)|  in
                                                                    if  (1)  <  (g)
                                                                          then  eval  h'  =  h  \mdiv{}\mdownarrow{}  g  in
                                                                                    eval  t'  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  g);t)  in
                                                                                        inl  [[h'  /  t']  /  sat]
                                                                          else  (inl  [[]  /  sat])
                      in  accumulate\_abort(L,Ls.let  h,t  =  L 
                                                                        in  if  t  =  Ax  then  if  (h)  <  (0)    then  inr  \mcdot{}      else  (inl  [L  /  Ls])
                                                                              otherwise  eval  g  =  |gcd-list(t)|  in
                                                                                                  if  (1)  <  (g)
                                                                                                        then  eval  h'  =  h  \mdiv{}\mdownarrow{}  g  in
                                                                                                                  eval  t'  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  g);t)  in
                                                                                                                      inl  [[h'  /  t']  /  Ls]
                                                                                                        else  (inl  [L  /  Ls]);s';v)))
        {}\mRightarrow{}  (cc  \mmember{}  sat)
        {}\mRightarrow{}  (cc  \mmember{}  outl(let  s'  \mleftarrow{}{}  let  h,t  =  [] 
                                                        in  if  t  =  Ax  then  if  (h)  <  (0)    then  inr  \mcdot{}      else  (inl  [[]  /  sat])
                                                              otherwise  eval  g  =  |gcd-list(t)|  in
                                                                                  if  (1)  <  (g)
                                                                                        then  eval  h'  =  h  \mdiv{}\mdownarrow{}  g  in
                                                                                                  eval  t'  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  g);t)  in
                                                                                                      inl  [[h'  /  t']  /  sat]
                                                                                        else  (inl  [[]  /  sat])
                                    in  accumulate\_abort(L,Ls.let  h,t  =  L 
                                                                                      in  if  t  =  Ax  then  if  (h)  <  (0)
                                                                                                                                then  inr  \mcdot{} 
                                                                                                                                else  (inl  [L  /  Ls])
                                                                                            otherwise  eval  g  =  |gcd-list(t)|  in
                                                                                                                if  (1)  <  (g)
                                                                                                                      then  eval  h'  =  h  \mdiv{}\mdownarrow{}  g  in
                                                                                                                                eval  t'  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  g);t)  in
                                                                                                                                    inl  [[h'  /  t']  /  Ls]
                                                                                                                      else  (inl  [L  /  Ls]);s';v))))


By

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Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)  THEN  Reduce  2  THEN  Auto)

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