---

Step * 2 2 1 1 of Lemma rel_exp-iff-path


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. n : ℤ
4. [%1] : 0 < n
5. ∀x,y:T.  (x R^n - 1 y ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y;L)))
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
7. x : T
8. y@0 : T
9. z : T
10. x R z
11. z R^n - 1 y@0
12. (z R^n - 1 y@0) ⇐ ∃L:T List. ((||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;z;y@0;L))
13. L : T List
14. ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ
15. rel-path-between(T;R;z;y@0;L)
⊢ ∃L:T List. ((||L|| = (n + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y@0;L))
BY
{ (InstConcl [⌜[x / L]⌝]⋅ THEN Auto') }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. n : ℤ
4. [%1] : 0 < n
5. ∀x,y:T.  (x R^n - 1 y ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y;L)))
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
7. x : T
8. y@0 : T
9. z : T
10. x R z
11. z R^n - 1 y@0
12. (z R^n - 1 y@0) ⇐ ∃L:T List. ((||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;z;y@0;L))
13. L : T List
14. ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ
15. rel-path-between(T;R;z;y@0;L)
16. ||[x / L]|| = (n + 1) ∈ ℤ
⊢ rel-path-between(T;R;x;y@0;[x / L])

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  n  :  \mBbbZ{}
4.  [\%1]  :  0  <  n
5.  \mforall{}x,y:T.
          (x  R\^{}n  -  1  y  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}L:T  List.  ((||L||  =  ((n  -  1)  +  1))  \mwedge{}  rel-path-between(T;R;x;y;L)))
6.  \mneg{}(n  =  0)
7.  x  :  T
8.  y@0  :  T
9.  z  :  T
10.  x  R  z
11.  z  rel\_exp(T;  R;  n  -  1)  y@0
12.  (z  rel\_exp(T;  R;  n  -  1)  y@0)  \mLeftarrow{}{}  \mexists{}L:T  List
                                                                          ((||L||  =  ((n  -  1)  +  1))  \mwedge{}  rel-path-between(T;R;z;y@0;L))
13.  L  :  T  List
14.  ||L||  =  ((n  -  1)  +  1)
15.  rel-path-between(T;R;z;y@0;L)
\mvdash{}  \mexists{}L:T  List.  ((||L||  =  (n  +  1))  \mwedge{}  rel-path-between(T;R;x;y@0;L))


By

---

Latex:
(InstConcl  [\mkleeneopen{}[x  /  L]\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto')

---

Home Index